114學年鷺江國中第3次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   外心就是外接圓的圓心

   $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，也就是外接圓的圓心，$\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=R$。$\angle BOC$ 是弦 $\overline{BC}$ 所對的圓心角，$\angle BAC$ 是同一條弦所對的圓周角，兩者之間有固定的倍數關係。
2. 2

   第一種情形：頂點 A 在大弧上

   當 $\angle A$ 是銳角、外心 $O$ 落在 $\triangle ABC$ 內部時，$\angle BOC=2\angle BAC$。代入 $142^\circ=2\angle BAC$，得 $\angle BAC=\frac{142^\circ}{2}=71^\circ$。
3. 3

   第二種情形：頂點 A 在小弧上

   當 $\angle A$ 是鈍角時，外心 $O$ 會跑到 $\triangle ABC$ 外部，$A$ 落在弦 $\overline{BC}$ 的另一側。這時要看另一邊的圓心角：$360^\circ-142^\circ=218^\circ$，而 $\angle BAC=\frac{218^\circ}{2}=109^\circ$。整理成公式就是 $\angle BOC=360^\circ-2\angle BAC$。
4. 4

   兩種情形都畫得出來

   題目只給 $\angle BOC=142^\circ$，沒有指定三角形是銳角還是鈍角，兩種擺法都真的存在，所以 $\angle BAC=71^\circ$ 或 $109^\circ$，故選 (A)。

關鍵觀念：#外心 #圓心角 #圓周角

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