114學年鷺江國中第3次段考數學 第6題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先看懂兩個三角形怎麼擺

   圖中上面的 $\triangle DEF$ 開口朝下（$E$ 在左上、$F$ 在右上、$D$ 在下方），下面的 $\triangle ABC$ 開口朝上（$C$ 在左下、$B$ 在右下、$A$ 在上方），$A$ 恰在 $D$ 的正上方，中間疊出一塊黃色的菱形。題目說 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的重心、$A$ 是 $\triangle DEF$ 的重心，我們要求的就是那塊菱形的面積。
2. 2

   用重心的二比一定出鉛直對角線

   設正三角形的邊長為 $a$、高為 $h$。重心把每條中線分成「頂點端比中點端等於 $2:1$」，所以頂點到重心的距離是高的 $\frac23$。$A$ 是 $\triangle ABC$ 的頂點、$D$ 是它的重心，因此 $\overline{AD}=\frac23 h$。這條 $\overline{AD}$ 正是菱形鉛直方向的那條對角線。
3. 3

   算出水平的那條對角線

   菱形另一條對角線是水平的，兩端是兩個三角形的邊互相交會的點。在 $\triangle ABC$ 中，從頂點 $A$ 往下量深度 $d$ 的水平截線與底邊 $\overline{BC}$ 平行，截出的小三角形和 $\triangle ABC$ 相似，所以截線長 $=\frac{d}{h}\times a$；同理 $\triangle DEF$ 從頂點 $D$ 往上量高度 $u$ 的截線長 $=\frac{u}{h}\times a$。兩條截線在同一高度交會、長度必須相等，所以 $d=u$；又 $d+u=\overline{AD}=\frac23 h$，得 $d=u=\frac13 h$，這條水平對角線長 $=\frac{a}{3}$。
4. 4

   用兩條對角線求菱形面積

   菱形面積等於兩條對角線乘積的一半：重疊面積 $=\frac12\times\frac{2h}{3}\times\frac{a}{3}=\frac{ah}{9}$。
5. 5

   代入已知面積作結

   正三角形面積 $\frac12 ah=144$，所以 $ah=288$。重疊面積 $=\frac{ah}{9}=\frac{288}{9}=32$，故選 (B)。

關鍵觀念：#正三角形 #重心 #重疊面積

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