114學年鷺江國中第3次段考數學 第5題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把圖看懂

   圖中黃色的 $\triangle ABC$：$B$ 在左下、$A$ 在左上、$C$ 在右；藍色正方形 $CDEF$ 以 $C$ 在右、$D$ 在右上、$E$ 在 $A$ 的右上方、$F$ 在下方，正方形的邊 $\overline{EF}$ 橫切過三角形。$F$ 明明是外心卻落在三角形外面，那是因為 $\triangle ABC$ 是鈍角三角形——鈍角三角形的外心本來就在三角形外部。
2. 2

   抓住外心真正的定義

   判斷一個點是不是某個三角形的外心，只看一件事：它到那三個頂點是不是等距離。$F$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，所以 $\overline{FA}=\overline{FB}=\overline{FC}$，這三段都是 $\triangle ABC$ 外接圓的半徑。
3. 3

   用正方形補上第四段

   正方形 $CDEF$ 的頂點依序是 $C\to D\to E\to F$，所以 $\overline{CD}$、$\overline{DE}$、$\overline{EF}$、$\overline{FC}$ 是它的四條邊，四邊等長，於是 $\overline{FE}=\overline{FC}$。把它接到上一步的結果，就得到 $\overline{FA}=\overline{FB}=\overline{FC}=\overline{FE}$，四段一樣長。
4. 4

   兩人的說法各自檢驗

   看 $\triangle ACE$：$\overline{FA}=\overline{FC}=\overline{FE}$，$F$ 到這三個頂點等距，$F$ 就是 $\triangle ACE$ 的外心，小祐說得對。再看 $\triangle BCE$：$\overline{FB}=\overline{FC}=\overline{FE}$，$F$ 到這三個頂點也等距，$F$ 同樣是 $\triangle BCE$ 的外心，小喆也說得對。兩人都正確，故選 (C)。

關鍵觀念：#外心 #正方形 #鈍角三角形

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