114學年鷺江國中第3次段考數學 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用平方差先拆開

   看到兩個平方相減，先用平方差公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：$(k+2)^2-k^2=[(k+2)+k]\times[(k+2)-k]=(2k+2)\times 2$。
2. 2

   整理成倍數的樣子

   再把 $2k+2$ 提出公因數 $2$：$(2k+2)\times 2=2(k+1)\times 2=4(k+1)$。因為 $k$ 是正整數，$k+1$ 也是整數，所以 $4(k+1)$ 一定是 $4$ 的倍數。
3. 3

   檢查其他選項為何不成立

   「是某個數的倍數」必須對「每一個」正整數 $k$ 都成立。取 $k=1$：$4\times(1+1)=8$。$8$ 不是 $3$ 的倍數、不是 $6$ 的倍數、也不是 $9$ 的倍數，所以 (A)、(C)、(D) 都被這一個反例推翻。
4. 4

   下結論

   $(k+2)^2-k^2=4(k+1)$，對所有正整數 $k$ 都是 $4$ 的倍數，故選 (B)。

關鍵觀念：#平方差 #倍數