114學年鷺江國中第3次段考數學 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   從內心連出三條線

   $I$ 是 $\triangle ABC$ 的內心。連 $\overline{IA}$、$\overline{IB}$、$\overline{IC}$，整個 $\triangle ABC$ 就被切成 $\triangle BIC$、$\triangle CIA$、$\triangle AIB$ 三塊，三塊面積加起來就是 $\triangle ABC$。
2. 2

   三塊的高都是內切圓半徑

   內心到三邊的距離都相等，都等於內切圓半徑 $r$。所以這三塊分別以 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 為底時，高通通是 $r$。面積 $=\frac12\times$ 底 $\times r$，底不同、高相同，面積比就等於底邊長的比。
3. 3

   把三邊比套進去

   由 $\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CA}=3:8:9$，得 $\triangle AIB:\triangle BIC:\triangle CIA=3:8:9$。注意 $\triangle BIC$ 的底是 $\overline{BC}$，對應的是中間那個 $8$；三塊合起來共 $3+8+9=20$ 份。
4. 4

   換算出總面積

   $8$ 份等於 $24$，所以 $1$ 份是 $24\div 8=3$。$\triangle ABC$ 共 $20$ 份，面積 $=20\times 3=60$，故選 (D)。

關鍵觀念：#內心 #三角形面積比

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