114學年鷺江國中第3次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把外心定位

   圖中 $\triangle ABC$ 的直角在 $C$（$B$ 在左下、$C$ 在右下、$A$ 在右上），外心 $O$ 畫在斜邊 $\overline{AB}$ 上。這是因為直角三角形的外心就是斜邊的中點，所以 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$，三段都是外接圓的半徑。
2. 2

   由 OC 求出斜邊

   既然 $\overline{OC}$ 是外接圓半徑而 $\overline{OC}=5$，可知半徑 $R=5$。斜邊 $\overline{AB}$ 正好是外接圓的直徑，所以 $\overline{AB}=2R=10$。
3. 3

   用畢氏定理求另一股

   $\angle C=90^\circ$，斜邊 $\overline{AB}=10$、一股 $\overline{BC}=5$，由畢氏定理 $\overline{AC}^2=\overline{AB}^2-\overline{BC}^2=10^2-5^2=100-25=75$，所以 $\overline{AC}=\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=5\sqrt3$。另一種看法更快：$\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{BC}=5$，$\triangle OBC$ 是正三角形，$\angle B=60^\circ$，於是 $\triangle ABC$ 是 $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ 的直角三角形，$\overline{AC}$ 正好是 $\overline{BC}$ 的 $\sqrt3$ 倍。
4. 4

   加起來求周長

   周長 $=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}=10+5+5\sqrt3=15+5\sqrt3=5(3+\sqrt3)$，故選 (A)。

關鍵觀念：#外心 #直角三角形 #周長

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