114學年鷺江國中第3次段考數學 第3題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看清楚要證哪兩個三角形

   圖中四邊形 $ABCD$ 的 $A$ 在左下、$B$ 在右下、$D$ 在左上、$C$ 在右上，兩條對角線 $\overline{AC}$、$\overline{BD}$ 在四邊形內部相交。證明要做的是 $\triangle ABC\cong\triangle BAD$，字母順序已經把對應關係寫好了：$A$ 對 $B$、$B$ 對 $A$、$C$ 對 $D$。
2. 2

   盤點已經有的條件

   已知 $\angle CBA=\angle DAB$：這是 $\triangle ABC$ 中 $B$ 處的角，對上 $\triangle BAD$ 中 $A$ 處的角。已知 $\angle CAB=\angle DBA$：這是 $\triangle ABC$ 中 $A$ 處的角，對上 $\triangle BAD$ 中 $B$ 處的角。兩組對應角都有了，缺的是一組「邊」。
3. 3

   找出那一組邊

   這兩個角所夾住的邊，在 $\triangle ABC$ 裡是 $\overline{AB}$，在 $\triangle BAD$ 裡是 $\overline{BA}$，兩者正好是同一條線段。補上 $\overline{AB}=\overline{AB}$（共用邊），三個條件就排成「角、夾邊、角」，可用 ASA 判定 $\triangle ABC\cong\triangle BAD$，再由對應邊相等得到 $\overline{AC}=\overline{BD}$。
4. 4

   排除其他選項並作結

   (B) 補進去的 $\angle ACB$ 與 $\angle BDA$ 正是這兩個三角形的第三組對應角：三角形內角和固定，已知兩組角相等時第三組本來就自動相等，補了等於沒補，而三組角相等只能推出相似、不能推出全等。(A) 的 $\angle CBD$ 與 $\angle DAC$ 同樣只是角，而且把已知的兩個等式相減就能得到，一樣是舊資訊。(D) 的 $\overline{CA}=\overline{DB}$ 正是最後要證的結論，拿結論當條件就成了循環論證。只有補上共用邊才行，故選 (C)。

關鍵觀念：#全等三角形 #幾何證明 #ASA

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