111學年鷺江國中第3次段考數學 第23題 詳解

逐步解析

1. 1

   切線段兩兩相等

   從圓外一點向圓作兩條切線，兩條切線段等長。$A$、$B$、$C$ 都在內切圓外，所以 $\overline{AD}=\overline{AE}$、$\overline{BD}=\overline{BF}$、$\overline{CE}=\overline{CF}$。設 $\overline{AD}=\overline{AE}=x$、$\overline{BD}=\overline{BF}=y$、$\overline{CE}=\overline{CF}=z$，把三邊上的六段切線段全部標好。
2. 2

   列出三個方程式

   沿著三邊把切線段加起來：$x+y=\overline{AB}=16$、$y+z=\overline{BC}=18$、$x+z=\overline{AC}=20$。三式相加得 $2(x+y+z)=16+18+20=54$，所以 $x+y+z=27$，恰好是周長的一半。
3. 3

   求出 AE

   $x=(x+y+z)-(y+z)=27-18=9$，所以 $\overline{AE}=9$。也可以直接記公式：$\overline{AE}=\dfrac{\overline{AB}+\overline{AC}-\overline{BC}}{2}=\dfrac{16+20-18}{2}=\dfrac{18}{2}=9$。（順帶得 $y=27-20=7$、$z=27-16=11$，代回三邊都吻合。）
4. 4

   用內切圓半徑拆面積

   設內切圓半徑為 $r$。連 $\overline{IA}$、$\overline{IB}$、$\overline{IC}$，把 $\triangle ABC$ 分成三塊，每一塊的高都是 $r$，所以 $\triangle ABC$ 的面積 $=\dfrac{1}{2}r(16+18+20)=27r$。其中 $\triangle AIC$ 以 $\overline{AC}=20$ 為底、高為 $r$，面積 $=\dfrac{1}{2}\times20\times r=10r$。
5. 5

   寫出比值

   $\triangle ABC:\triangle AIC=27r:10r=27:10$。兩小題的結果為：(1) $\overline{AE}=9$；(2) $\triangle ABC:\triangle AIC=27:10$。

關鍵觀念：#內心 #內切圓 #切線段 #面積比

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