111學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先認出 O 的雙重身分

   矩形的兩條對角線互相平分，所以交點 $O$ 既是 $\overline{AC}$ 的中點，也是 $\overline{BD}$ 的中點。這一點很關鍵：它讓圖上原本只是「對角線」的線段，同時變成某些三角形的中線。
2. 2

   G 與 F 都是重心

   在 $\triangle ABC$ 中，$E$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，所以 $\overline{AE}$ 是中線；$O$ 是 $\overline{AC}$ 的中點，所以 $\overline{BO}$ 也是中線。兩條中線的交點 $G$ 就是 $\triangle ABC$ 的重心，因此 $\overline{BG}:\overline{GO}=2:1$，即 $\overline{GO}=\dfrac{1}{3}\overline{BO}$。同理，在 $\triangle DBC$ 中 $\overline{DE}$ 與 $\overline{CO}$ 都是中線，交點 $F$ 是 $\triangle DBC$ 的重心，$\overline{FO}=\dfrac{1}{3}\overline{CO}$。
3. 3

   先量兩塊大三角形

   $\triangle ABC$ 與 $\triangle DBC$ 的面積都是矩形的一半，各為 $96\div2=48$。$\triangle BEO$ 與 $\triangle BCD$ 共用 $\angle B$，而 $\overline{BE}=\dfrac{1}{2}\overline{BC}$、$\overline{BO}=\dfrac{1}{2}\overline{BD}$，所以面積 $=48\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=12$。同理 $\triangle CEO$ 與 $\triangle CBA$ 共用 $\angle C$，$\overline{CE}=\dfrac{1}{2}\overline{CB}$、$\overline{CO}=\dfrac{1}{2}\overline{CA}$，面積也是 $48\times\dfrac{1}{4}=12$。
4. 4

   縮到兩塊小三角形

   $\triangle GEO$ 與 $\triangle BEO$ 的底分別是 $\overline{GO}$ 與 $\overline{BO}$，都落在直線 $BD$ 上，而且共用頂點 $E$，所以高相同，面積比等於底長比。由 $\overline{GO}=\dfrac{1}{3}\overline{BO}$ 得 $\triangle GEO$ 的面積 $=12\times\dfrac{1}{3}=4$。同理 $\overline{FO}=\dfrac{1}{3}\overline{CO}$，$\triangle FEO$ 的面積 $=12\times\dfrac{1}{3}=4$。
5. 5

   合起來

   線段 $\overline{EO}$ 把四邊形 $EFOG$ 分成 $\triangle GEO$ 與 $\triangle FEO$ 兩塊，所以四邊形 $EFOG$ 的面積 $=4+4=8$。故選 (B)。

關鍵觀念：#矩形 #對角線 #面積比

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