111學年鷺江國中第3次段考數學 第21題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先求內切圓半徑

   $\angle B=90°$，兩股 $\overline{AB}=15$、$\overline{BC}=8$，由畢氏定理斜邊 $\overline{AC}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$。直角三角形的內切圓半徑 $r=\dfrac{兩股和-斜邊}{2}=\dfrac{15+8-17}{2}=\dfrac{6}{2}=3$。
2. 2

   看清楚扇形的兩條半徑

   圖上除了三角形與內切圓，還畫出從 $A$ 到 $I$、從 $I$ 到 $C$ 這兩段（也就是 $\angle A$ 與 $\angle C$ 的角平分線）。灰色扇形正是夾在半徑 $\overline{IA}$ 與半徑 $\overline{IC}$ 所在的兩條射線之間、位於圓的左上側。所以這個扇形的圓心角就是 $\angle AIC$。
3. 3

   求出 ∠AIC

   $I$ 是內心，$\overline{IA}$、$\overline{IC}$ 分別平分 $\angle A$ 與 $\angle C$。在 $\triangle ABC$ 中 $\angle A+\angle C=180°-90°=90°$，所以 $\angle IAC+\angle ICA=\dfrac{\angle A+\angle C}{2}=45°$。在 $\triangle AIC$ 中由內角和得 $\angle AIC=180°-45°=135°$。
4. 4

   套扇形面積公式

   扇形面積 $=\dfrac{圓心角}{360°}\times\pi r^2=\dfrac{135}{360}\times\pi\times3^2=\dfrac{3}{8}\times9\pi=\dfrac{27}{8}\pi$（平方單位）。故選 (C)。

關鍵觀念：#內心 #內切圓 #扇形面積 #直角三角形

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