111學年鷺江國中第3次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   外心的判準只有一條

   一個點是某三角形的外心，意思就是它到三個頂點的距離都相等；換句話說，這三個頂點都落在以它為圓心的同一個圓上。所以對圓 $O$ 來說，判準非常乾脆：三角形的三個頂點是不是都在圓周上。
2. 2

   分清楚誰在圓周上

   由圖，$A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 這五個點都標在圓周上，到圓心 $O$ 的距離都等於半徑。而 $F$ 不一樣：它是 $\overline{AD}$ 與 $\overline{BE}$ 這兩條弦在圓內部的交點，位置在 $O$ 的右側、圓的裡面，$\overline{OF}$ 比半徑短。
3. 3

   逐項檢查

   (A) $\triangle ABD$ 的三頂點 $A$、$B$、$D$ 都在圓周上，$\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OD}=$ 半徑，所以 $O$ 是它的外心。(B) $\triangle ABE$ 與 (C) $\triangle BDE$ 同理，三頂點也全在圓周上。(D) $\triangle ACF$ 裡的 $F$ 在圓的內部，$\overline{OF}$ 比半徑短，和 $\overline{OA}$、$\overline{OC}$ 不相等，所以 $O$ 不可能是它的外心。
4. 4

   別被「心在邊上」嚇到

   圖中 $\overline{BE}$ 通過圓心 $O$，所以對 (B) 的 $\triangle ABE$ 與 (C) 的 $\triangle BDE$ 來說，$O$ 剛好坐在它們的一條邊 $\overline{BE}$ 上。（$\overline{BD}$ 看起來橫貫全圖，但它並不通過 $O$。）外心落在邊上完全合法——判準從頭到尾只有「到三頂點等距」這一條，和它落在內部、邊上或外部無關；本卷第 2 題就是外心落在邊上的例子。所以 $O$ 不是外心的只有 $\triangle ACF$，故選 (D)。

關鍵觀念：#外心 #圓內接多邊形

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