111學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先求頂點到底邊的高

   由圖，$\overline{AB}=\overline{AC}=17$（兩腰各標 17 並有等長記號）、$\overline{BC}=30$。設 $M$ 為 $\overline{BC}$ 的中點，等腰三角形頂點到底邊中點的連線垂直底邊，所以 $\overline{BM}=15$、$\overline{AM}\perp\overline{BC}$。由畢氏定理 $\overline{AM}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$。
2. 2

   外心落在對稱軸上

   外心到三頂點等距，所以它一定在 $\overline{BC}$ 的中垂線上，也就是直線 $AM$ 上。把圖放到坐標平面：取 $B(-15,0)$、$C(15,0)$、$A(0,8)$，設外心為 $O(0,k)$。
3. 3

   列式解出 k

   由 $\overline{OB}=\overline{OA}$，兩邊平方：$15^2+k^2=(8-k)^2$，展開得 $225+k^2=64-16k+k^2$，消去 $k^2$ 得 $16k=64-225=-161$，所以 $k=-\dfrac{161}{16}$。$k$ 是負的，表示 $O$ 落在 $\overline{BC}$ 的下方、三角形的外部，正符合鈍角三角形的特徵（本題的頂角 $\angle A$ 是鈍角）。
4. 4

   求出 OA

   $A$ 在 $y=8$、$O$ 在 $y=-\dfrac{161}{16}$，兩點都在 $y$ 軸上，所以 $\overline{OA}=8-\left(-\dfrac{161}{16}\right)=\dfrac{128}{16}+\dfrac{161}{16}=\dfrac{289}{16}$。（檢查一下：$\overline{OB}=\sqrt{15^2+\left(\dfrac{161}{16}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{57600+25921}}{16}=\dfrac{289}{16}$，確實相等。）故選 (A)。

關鍵觀念：#外心 #等腰三角形

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