111學年鷺江國中第3次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

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   先補出第三邊

   $\angle C=90°$，所以 $\overline{AB}=10$ 是斜邊，$\overline{BC}=8$ 與 $\overline{AC}$ 是兩股。由畢氏定理 $\overline{AC}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。這是常見的 $6$、$8$、$10$ 直角三角形。
2. 2

   內心到三邊等距

   $I$ 是內心，到三邊的距離都等於內切圓半徑 $r$。把 $I$ 與三個頂點連起來，$\triangle ABC$ 被分成 $\triangle ABI$、$\triangle BCI$、$\triangle ACI$ 三塊，它們分別以 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 為底，而高全部都是 $r$。
3. 3

   用面積求出半徑

   $\triangle ABC$ 的面積 $=\dfrac{1}{2}\times6\times8=24$；換個算法，它等於三塊之和 $=\dfrac{1}{2}r(10+8+6)=12r$。由 $12r=24$ 得 $r=2$。直角三角形也可以直接用 $r=\dfrac{兩股和-斜邊}{2}=\dfrac{6+8-10}{2}=2$，結果一致。
4. 4

   算出目標面積

   $\triangle ABI$ 以 $\overline{AB}=10$ 為底，對應的高就是 $I$ 到 $\overline{AB}$ 的距離 $r=2$，所以面積 $=\dfrac{1}{2}\times10\times2=10$。故選 (C)。

關鍵觀念：#內心 #直角三角形 #面積

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