111學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   還原中線長度

   $G$ 是重心，把中線分成 $2:1$，靠頂點的 $\overline{AG}$ 佔整條的 $\dfrac{2}{3}$。由 $\overline{AG}=20$ 得 $\overline{AD}=20\div\dfrac{2}{3}=30$，所以 $\overline{GD}=30-20=10$。
2. 2

   正三角形三心合一

   正三角形的重心、外心、內心是同一個點 $G$。外接圓半徑是圓心到頂點的距離，所以 $R=\overline{AG}=20$；內切圓半徑是圓心到邊的距離，而 $\overline{AD}$ 同時是中線與高、$D$ 是切點，所以 $r=\overline{GD}=10$。可以順手檢查：正三角形永遠有 $R=2r$。
3. 3

   由高反推邊長

   $\overline{AD}=30$ 是高不是邊長。設 $\overline{BC}=s$，則 $\overline{BD}=\dfrac{s}{2}$，在直角三角形 $ABD$ 中由畢氏定理：$\left(\dfrac{s}{2}\right)^2+30^2=s^2$，即 $\dfrac{s^2}{4}+900=s^2$，$\dfrac{3s^2}{4}=900$，$s^2=1200$，$s=\sqrt{1200}=20\sqrt3$。
4. 4

   三個量相加

   $R+r+\overline{BC}=20+10+20\sqrt3=30+20\sqrt3$（公分）。故選 (A)。

關鍵觀念：#重心 #外接圓 #內切圓 #正三角形

同主題一起複習：平面幾何 →