111學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   由面積求出高

   設這個等腰三角形為 $\triangle ABC$，底邊 $\overline{BC}=8$、兩腰 $\overline{AB}=\overline{AC}$，底邊上的高為 $h$。由面積公式 $\dfrac{1}{2}\times8\times h=8$，解得 $h=2$。可見這個三角形又扁又寬，頂角張得很開。
2. 2

   放到坐標上好計算

   把底邊放在 $x$ 軸上並讓高落在 $y$ 軸：取 $B(-4,0)$、$C(4,0)$、頂點 $A(0,2)$。此時兩腰 $\overline{AB}=\overline{AC}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$。檢查 $\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=20+20=40$，小於 $\overline{BC}^2=64$，所以頂角 $\angle A$ 是鈍角，與題目說的鈍角等腰三角形相符。
3. 3

   外心在對稱軸上

   等腰三角形的外心必在底邊的中垂線上，也就是 $y$ 軸上，設外心為 $O(0,k)$。由外心到頂點等距，$\overline{OB}=\overline{OA}$，平方後得 $4^2+k^2=(2-k)^2$，即 $16+k^2=4-4k+k^2$，化簡得 $4k=-12$，$k=-3$。
4. 4

   求半徑與面積

   外心 $O(0,-3)$ 落在底邊下方，也就是三角形外部，這正符合鈍角三角形的特徵。外接圓半徑 $R=\overline{OB}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$（順帶檢查 $\overline{OA}=|2-(-3)|=5$，一致）。所以外接圓面積 $=\pi R^2=\pi\times5^2=25\pi$。故選 (C)。

關鍵觀念：#外接圓 #等腰三角形 #面積