111學年鷺江國中第3次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   (A) 內心管的是邊

   內心是三條角平分線的交點，它到「三邊」的距離相等，所以能畫出與三邊相切的內切圓。到「三頂點」距離相等的是外心，不是內心。所以 (A) 把等距的對象寫錯了。
2. 2

   (B) 中垂線交點是外心

   三邊中垂線的交點叫外心（它到三頂點等距，正是外接圓圓心）；重心則是三條中線的交點。兩者的定義被調換了，所以 (B) 不成立。
3. 3

   (C) 中線平分面積

   設 $\overline{AD}$ 是中線，$D$ 為 $\overline{BC}$ 的中點。$\triangle ABD$ 與 $\triangle ACD$ 的底分別是 $\overline{BD}$ 與 $\overline{DC}$，兩者等長；而它們共用從 $A$ 向 $\overline{BC}$ 所作的同一條高。等底又等高，面積必相等。任何一條中線都是如此，所以 (C) 成立。
4. 4

   (D) 等面積不等於全等

   三條中線確實把三角形分成 $6$ 個小三角形，而且每一塊的面積都相等，各佔 $\dfrac{1}{6}$。但「面積相等」和「全等」是兩回事：全等要求三邊三角都對應相等，在一般的斜三角形裡這 $6$ 塊的形狀明顯不同，只有正三角形時才會真的全等。所以 (D) 不成立。四項中只有 (C) 站得住，故選 (C)。

關鍵觀念：#內心 #外心 #重心 #中線

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