111學年鷺江國中第3次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   由 AG 還原整條中線

   圖中 $\overline{AD}$ 是 $\overline{BC}$ 邊上的中線，$G$ 是重心。重心把中線分成 $2:1$，靠頂點的 $\overline{AG}$ 佔 $\dfrac{2}{3}$，所以 $\overline{AG}=\dfrac{2}{3}\overline{AD}$。由 $\overline{AG}=10$ 得 $\overline{AD}=15$，因此 $\overline{GD}=15-10=5$。
2. 2

   正三角形三心合一

   正三角形的重心、內心、外心是同一個點，所以 $G$ 同時也是內切圓的圓心。又因為是正三角形，中線 $\overline{AD}$ 同時也是高，$D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點且 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$，於是 $G$ 到邊 $\overline{BC}$ 的距離就是 $\overline{GD}$，而 $D$ 正是內切圓與 $\overline{BC}$ 的切點。
3. 3

   求半徑再求面積

   內切圓半徑 $r=\overline{GD}=5$，所以內切圓面積 $=\pi r^2=\pi\times5^2=25\pi$。故選 (B)。

關鍵觀念：#重心 #內切圓 #正三角形

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