111學年鷺江國中第3次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先確認直角在哪個頂點

   三邊長為 $\overline{AB}=24$、$\overline{AC}=10$、$\overline{BC}=26$。檢查 $10^2+24^2=100+576=676=26^2$，符合畢氏定理，所以最長邊 $\overline{BC}$ 是斜邊，直角夾在 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 之間，即 $\angle A=90°$。
2. 2

   重心到邊的距離是三分之一

   設 $M$ 是 $\overline{AC}$ 的中點，則 $\overline{BM}$ 是 $\overline{AC}$ 邊上的中線，重心 $G$ 在 $\overline{BM}$ 上且 $\overline{GM}=\dfrac{1}{3}\overline{BM}$。因為 $M$ 就在直線 $AC$ 上，從 $B$ 走到 $M$ 的過程中，到直線 $AC$ 的距離是等比例縮小的，所以 $G$ 到 $\overline{AC}$ 的距離恰為 $B$ 到 $\overline{AC}$ 距離的 $\dfrac{1}{3}$。
3. 3

   找出 B 到 AC 的距離

   要的是「對面頂點 $B$ 到邊 $\overline{AC}$ 的距離」。因為 $\angle A=90°$，$\overline{AB}\perp\overline{AC}$，所以 $\overline{AB}$ 本身就是 $B$ 到 $\overline{AC}$ 的垂直距離，長度為 $24$。
4. 4

   算出答案

   $G$ 到 $\overline{AC}$ 的距離 $=\dfrac{1}{3}\times24=8$。（也可以用坐標檢查：取 $A(0,0)$、$C(10,0)$、$B(0,24)$，重心 $G\left(\dfrac{0+10+0}{3},\dfrac{0+0+24}{3}\right)=\left(\dfrac{10}{3},8\right)$，到 $x$ 軸的距離正是 $8$。）故選 (A)。

關鍵觀念：#重心 #直角三角形 #面積

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