111學年鷺江國中第3次段考數學 第24題 詳解

逐步解析

1. 1

   從兩個正三角形取料

   $\triangle ACE$ 是正三角形，所以 $\overline{CA}=\overline{CE}$ 且 $\angle ACE=60°$；$\triangle BCD$ 是正三角形，所以 $\overline{CB}=\overline{CD}$ 且 $\angle BCD=60°$。兩組等邊都從同一個頂點 $C$ 拉出去，這正是要證全等的兩組對應邊。
2. 2

   湊出夾角相等

   由圖，從 $C$ 射出的線段依序是 $\overline{CB}$、$\overline{CA}$、$\overline{CD}$、$\overline{CE}$。於是 $\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD=60°$，$\angle ACE=\angle ACD+\angle DCE=60°$。兩式裡的 $\angle ACD$ 是同一個角，所以 $\angle BCA=60°-\angle ACD=\angle DCE$，也就是 $\angle ACB=\angle ECD$。
3. 3

   用 SAS 完成證明

   在 $\triangle ABC$ 與 $\triangle EDC$ 中：$\overline{CA}=\overline{CE}$、$\angle ACB=\angle ECD$、$\overline{CB}=\overline{CD}$，兩邊及其夾角對應相等，由 SAS 全等性質得 $\triangle ABC\cong\triangle EDC$。這就完成第 (1) 小題。
4. 4

   把角度搬到 E

   全等的對應頂點是 $A$ 對 $E$、$B$ 對 $D$、$C$ 對 $C$，所以對應角相等：$\angle BAC=\angle DEC$。已知 $\angle BAC=110°$，因此 $\angle DEC=110°$。
5. 5

   扣掉正三角形的 60 度

   $\triangle ACE$ 是正三角形，所以 $\angle AEC=60°$。由圖，$\overline{EA}$ 落在 $\angle DEC$ 的內部，於是 $\angle AED=\angle DEC-\angle AEC=110°-60°=50°$。兩小題的結果為：(1) 由 $\overline{CA}=\overline{CE}$、$\angle ACB=\angle ECD$、$\overline{CB}=\overline{CD}$，依 SAS 得 $\triangle ABC\cong\triangle EDC$；(2) $\angle AED=50°$。

關鍵觀念：#全等三角形 #正三角形 #證明 #角度計算

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