114學測數學A 第17題 詳解

答案$\overline{CD}=3+\sqrt{2}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先求 AC

   本題考餘弦定理與圓內接四邊形的角度關係。先算 $\overline{AC}$：$\overline{AC}^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\left(-\dfrac18\right)=18+\dfrac94=\dfrac{81}4$，得 $\overline{AC}=\dfrac92$。又 $\overline{AB}=\overline{BC}$ 使 $\triangle ABC$ 等腰，兩底角相等：$\cos\angle BAC=\cos\angle BCA=\dfrac{9+\frac{81}4-9}{2\cdot3\cdot\frac92}=\dfrac{\frac{81}4}{27}=\dfrac34$。
2. 2

   定位 D

   在同一圓中，弦愈長所對的弧愈大。若 $D$ 落在 $A$、$B$ 之間（不含 $C$）的弧上，其弧是 $AB$ 弧的一部分，會有 $\overline{BD}<\overline{BA}=3$，與 $\overline{BD}=4$ 矛盾；同理 $D$ 不在 $B$、$C$ 之間的弧上。故 $D$ 在不含 $B$ 的 $AC$ 弧上，$B$、$A$、$D$、$C$ 依序共圓。由同弧圓周角：$\angle ADB=\angle ACB$、$\angle BDC=\angle BAC$，兩角的餘弦皆為 $\dfrac34$。
3. 3

   列二次方程

   在 $\triangle ABD$ 中對 $\angle ADB$ 用餘弦定理：$\overline{AB}^2=\overline{AD}^2+\overline{BD}^2-2\cdot\overline{AD}\cdot\overline{BD}\cdot\dfrac34$，即 $9=\overline{AD}^2+16-6\overline{AD}$，整理得 $\overline{AD}^2-6\overline{AD}+7=0$，$\overline{AD}=3\pm\sqrt2$。同法在 $\triangle BCD$ 中得 $\overline{CD}^2-6\overline{CD}+7=0$，$\overline{CD}=3\pm\sqrt2$。
4. 4

   四邊形檢驗

   $B$、$A$、$D$、$C$ 共圓，圓內接四邊形對角互補：$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC$，故 $\cos\angle ADC=\dfrac18$。在 $\triangle ADC$ 中須滿足 $\overline{AD}^2+\overline{CD}^2-2\cdot\overline{AD}\cdot\overline{CD}\cdot\dfrac18=\overline{AC}^2=\dfrac{81}4$。逐組檢驗：兩者同取 $3+\sqrt2$ 時左式為 $\dfrac{77+42\sqrt2}4$，同取 $3-\sqrt2$ 時為 $\dfrac{77-42\sqrt2}4$，皆不合；一大一小時 $\overline{AD}^2+\overline{CD}^2=22$、$\overline{AD}\cdot\overline{CD}=(3)^2-(\sqrt2)^2=7$，左式 $=22-\dfrac74=\dfrac{81}4$，恰好成立。
5. 5

   取大者作答

   故 $\{\overline{AD},\overline{CD}\}=\{3-\sqrt2,\ 3+\sqrt2\}$；由條件 $\overline{AD}\le\overline{CD}$，取 $\overline{CD}=3+\sqrt2$。答案為 $3+\sqrt2$（最簡根式）。

關鍵觀念：#餘弦定理 #圓周角 #弦長公式

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