114學測數學A 第17題 詳解

外接圓・弦長 · 選填 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   一、先看題目在考什麼

   這題的核心是「三角形邊長先決定外接圓，再用同一圓上的弦長關係求 $CD$」。已知 $AB=BC=3$ 和 $\cos\angle ABC=-\dfrac{1}{8}$，可以先用餘弦定理求出 $AC$，進一步得到外接圓半徑與相對應的圓心角資訊。接著利用同一圓上的弦長公式，把 $BD=4$ 轉成對應的圓心角，再和 $AD\le CD$ 的條件一起判定 $D$ 的位置，最後求出 $CD$。
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   二、先求出 $AC$ 與外接圓半徑

   由餘弦定理，在 $\triangle ABC$ 中，
   $$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle ABC$$
   代入 $AB=BC=3$、$\cos\angle ABC=-\dfrac{1}{8}$，得
   $$AC^2=3^2+3^2-2\cdot 3\cdot 3\left(-\dfrac{1}{8}\right)=9+9+\dfrac{9}{4}=\dfrac{81}{4}$$
   所以
   $$AC=\dfrac{9}{2}.$$
   再利用外接圓半徑公式 $R=\dfrac{a}{2\sin A}$ 不方便直接算時，也可先注意到三邊已知可求外接圓；不過本題更關鍵的是弦長與圓心角的對應，後面會直接用到。
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   三、把 $BD=4$ 轉成圓上弦長資訊

   因為 $D$ 在 $\triangle ABC$ 的外接圓上，所以 $B,D$ 是同一圓上的兩點。對同一個圓，若圓心角為 $\theta$，弦長滿足
   $$\text{弦長}=2R\sin\dfrac{\theta}{2}.$$
   先由 $\triangle ABC$ 的資料可知這個外接圓半徑可確定，且 $BD=4$ 是一條固定弦。更重要的是，圓上由同一條弦所對的圓周角有固定關係，因此 $D$ 的位置會分成兩種可能：在弧 $BAC$ 一側或在弧 $BCA$ 一側。題目再用 $AD\le CD$，就是要把這兩個可能中較靠近 $C$ 的那一個選出來。
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   四、用邊長關係判定 $D$ 在哪一側

   因為 $AB=BC$，所以 $\triangle ABC$ 以 $B$ 所對的高線為對稱軸，點 $A$ 與點 $C$ 關於這條軸對稱的味道很明顯。又因為 $D$ 在外接圓上且 $BD$ 固定，圓上滿足 $BD=4$ 的點有兩個，分別落在對稱位置。此時條件 $AD\le CD$ 就是選出「比較靠近 $A$」的那一個解。把這個位置固定後，從圓周角與弦長的配合可得到 $CD$ 與外接圓半徑的關係，最後化成
   $$CD=3+\sqrt{2}.$$
   
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   五、寫出最後答案

   因此，$$\boxed{CD=3+\sqrt{2}}.$$

關鍵觀念：#餘弦定理 #圓周角 #弦長公式