114學測數學A 第18題 詳解

旋轉矩陣・冪次 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   觀念先抓

   題目說 $A$、$B$ 都是以原點為中心、逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣。這表示它們分別可寫成某個角度 $\theta$、$\phi$ 的旋轉矩陣：$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}\cos\phi&-\sin\phi\\\sin\phi&\cos\phi\end{bmatrix}$，而且 $\theta,\phi$ 都是銳角，所以 $0<\theta,\phi<\dfrac{\pi}{2}$。
2. 2

   把冪次翻成角度

   旋轉矩陣相乘，角度會相加，所以 $A^2$ 是旋轉 $2\theta$，$B^3$ 是旋轉 $3\phi$。題目又說 $A^2=B^3=\begin{bmatrix}0&c\\1&d\end{bmatrix}$，表示這兩個矩陣其實是同一個旋轉矩陣。
3. 3

   利用矩陣型態

   一般旋轉矩陣是 $\begin{bmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{bmatrix}$。現在它的左上角是 $0$，所以 $\cos\alpha=0$。因為又是逆時針旋轉的一般情況，可知 $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$。因此這個矩陣必為 $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$。
4. 4

   直接對照求 $c$

   將 $\begin{bmatrix}0&c\\1&d\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 對照，可得 $c=-1$，$d=0$。題目只問 $c$，所以答案是 $-1$。
5. 5

   選項判定

   因此正確選項是（２）$-1$。其他選項都不符合旋轉矩陣在角度為 $\dfrac{\pi}{2}$ 時的標準型。

關鍵觀念：#旋轉矩陣 #矩陣乘法 #三角函數 #逆時針旋轉