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114學測數學A 第18題 詳解

旋轉矩陣・冪次 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

題目
已知 A=[a1a2a3a4]A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}、B=[b1b2b3b4]B=\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix} 皆為坐標平面上以原點 OO 為中心，逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣，且滿足 A2=B3=[0c1d]A^2=B^3=\begin{bmatrix}0&c\\1&d\end{bmatrix}，其中 c,dc,d 為實數。試問 cc 之值為何？
(1) 0 (2) −1-1 (3) 1 (4) −12-\dfrac{1}{2} (5) 12\dfrac{1}{2}

答案(2) −1-1看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    旋轉矩陣形

    本題考旋轉矩陣的乘冪。逆時針旋轉 θ\theta 的矩陣為 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}，且旋轉矩陣相乘就是角度相加。設 AA 旋轉銳角 α\alpha，則 A2A^2 是旋轉 2α2\alpha 的矩陣：A2=[cos⁡2α−sin⁡2αsin⁡2αcos⁡2α]A^2=\begin{bmatrix}\cos2\alpha&-\sin2\alpha\\\sin2\alpha&\cos2\alpha\end{bmatrix}。
  2. 2

    比對元素

    與 [0c1d]\begin{bmatrix}0&c\\1&d\end{bmatrix} 比對第一行：cos⁡2α=0\cos2\alpha=0 且 sin⁡2α=1\sin2\alpha=1。因 α\alpha 為銳角，0∘<2α<180∘0^\circ<2\alpha<180^\circ，故 2α=90∘2\alpha=90^\circ（α=45∘\alpha=45^\circ 確為銳角）。於是 c=−sin⁡2α=−1c=-\sin2\alpha=-1、d=cos⁡2α=0d=\cos2\alpha=0。
  3. 3

    B 相容檢核

    代回檢查 BB 的條件：B3B^3 是旋轉 3β3\beta 的矩陣，0∘<3β<270∘0^\circ<3\beta<270^\circ 且 cos⁡3β=0\cos3\beta=0、sin⁡3β=1\sin3\beta=1，得 3β=90∘3\beta=90^\circ，β=30∘\beta=30^\circ 為銳角，兩個條件相容，確認 A2=B3=[0−110]A^2=B^3=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} 成立。
  4. 4

    破解誘答

    最誘答的是 (3) c=1c=1：把旋轉矩陣默寫成 [cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}（那其實是順時針旋轉的矩陣），或看到左下角的 11 就順手把 sin⁡2α=1\sin2\alpha=1 填進 cc，都會選到它。記住逆時針旋轉矩陣的負號在右上角。答案選 (2)。
答案
(2) −1-1

關鍵觀念：#旋轉矩陣 #矩陣乘法 #三角函數 #逆時針旋轉

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常見卡點
旋轉矩陣的負號位置是本題唯一的殺傷點：逆時針版負號在右上角的 −sin⁡θ-\sin\theta；一旦寫成負號在左下的順時針版，cc 會算成 +1+1 而誤選 (3)。默寫完先用 θ=90∘\theta=90^\circ 檢查：逆時針轉九十度應把點 (1,0)(1,0) 轉到 (0,1)(0,1)，也就是矩陣第一行必須是 [01]\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}。

還是卡住嗎？

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