108學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

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   先確認在講哪一個圓

   圖上有兩個圓，但 $A$、$B$、$D$ 三點都落在右邊那個圓上，所以題目給的 $\overparen{BD}=120°$ 與 $\overparen{ABD}=200°$ 講的都是右圓的弧。左邊那個圓在這題只是提供 $C$ 點，不參與計算。
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   把右圓切成三段弧

   $\overparen{ABD}$ 是從 $A$ 出發、經過 $B$ 再到 $D$ 的那條路徑，度數 $200°$，它由 $\overparen{AB}$ 與 $\overparen{BD}$ 接成。已知 $\overparen{BD}=120°$，所以 $\overparen{AB}=200°-120°=80°$。剩下不經過 $B$ 的那段 $\overparen{DA}=360°-200°=160°$。
3. 3

   ∠ABD 對哪段弧

   $\angle ABD$ 的頂點 $B$ 在圓上，是圓周角。圓周角看的永遠是「不含自己頂點」的那段弧，所以它對的是 $\overparen{DA}=160°$，因此 $\angle ABD=160°\div2=80°$。
4. 4

   順手驗算一次

   同樣的做法算另外兩個角：$\angle ADB$ 對 $\overparen{AB}=80°$，得 $80°\div2=40°$；$\angle DAB$ 對 $\overparen{BD}=120°$，得 $120°\div2=60°$。三角形 $ABD$ 的內角和 $40°+60°+80°=180°$，完全吻合，表示前面沒算錯。
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   弧的度數不等於角的度數

   這一步最容易出事：有人算出 $\overparen{DA}=160°$ 之後，看到題目問角度就把 $160$ 填上去。要記得弧的度數必須除以 $2$ 才變成圓周角，$160°$ 的弧只能撐出 $80°$ 的角；而且 $80°$ 算的是 $\angle ABD$，還不是題目問的 $\angle ABC$，中間還差一次補角換算。
6. 6

   用三點共線補成平角

   $C$、$B$、$D$ 三點共線且 $B$ 落在 $C$ 與 $D$ 之間，所以射線 $BC$ 與射線 $BD$ 方向相反，$\angle ABC$ 與 $\angle ABD$ 互為補角：$\angle ABC=180°-\angle ABD=180°-80°=100°$。所以 $\angle ABC=100$ 度。

關鍵觀念：#兩圓相交 #弧與圓周角

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