108學年鷺江國中第2次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   設出要求的角

   設 $\angle A=\angle DAB=x$。因為 $P$ 在 $\overline{AD}$ 的延長線上、$Q$ 在 $\overline{AB}$ 的延長線上，所以 $\angle PAB$ 與 $\angle QAD$ 其實都是同一個 $\angle DAB$，也就是 $x$。這表示 $x$ 同時待在 $\triangle ABP$ 與 $\triangle ADQ$ 裡面。
2. 2

   表示出 ∠ABC

   $\triangle ABP$ 的三個內角是 $\angle P=57°$、$\angle PAB=x$、$\angle ABP$，由內角和得 $\angle ABP=180°-57°-x=123°-x$。又 $C$ 落在 $\overline{BP}$ 上，射線 $BC$ 與射線 $BP$ 是同一條，所以 $\angle ABC=\angle ABP=123°-x$。
3. 3

   表示出 ∠ADC

   $\triangle ADQ$ 的三個內角是 $\angle Q=43°$、$\angle QAD=x$、$\angle ADQ$，由內角和得 $\angle ADQ=180°-43°-x=137°-x$。又 $C$ 落在 $\overline{DQ}$ 上，射線 $DC$ 與射線 $DQ$ 是同一條，所以 $\angle ADC=\angle ADQ=137°-x$。
4. 4

   對角互補列式

   $ABCD$ 內接於圓，對角互補，所以 $\angle ABC+\angle ADC=180°$。代入上面兩式：$(123°-x)+(137°-x)=180°$。
5. 5

   解方程式

   $260°-2x=180°$，移項得 $2x=80°$，所以 $x=40°$。所以 $\angle A=40$ 度。

關鍵觀念：#圓內接四邊形 #外角