108學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先用交弦定理補出 PC

   兩弦 $\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$ 在圓內交於 $P$，交弦定理給出 $\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}$。代入已知：$2\times5=\overline{PC}\times3$，所以 $\overline{PC}=\dfrac{10}{3}$。
2. 2

   找出相似三角形

   連 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$。$\angle CAP$ 就是 $\angle CAB$，$\angle BDP$ 就是 $\angle BDC$，兩者同對弧 $\overparen{BC}$，所以相等；又 $\angle APC$ 與 $\angle DPB$ 是對頂角，也相等。由 AA 相似得 $\triangle PAC\sim\triangle PDB$。
3. 3

   寫出對應邊比

   對應頂點是 $P$ 對 $P$、$A$ 對 $D$、$C$ 對 $B$，所以 $\dfrac{\overline{PA}}{\overline{PD}}=\dfrac{\overline{PC}}{\overline{PB}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{DB}}$。前兩個比值檢查一下：$\overline{PA}$ 比 $\overline{PD}$ 是 $2$ 比 $3$，$\overline{PC}$ 比 $\overline{PB}$ 是 $\dfrac{10}{3}$ 比 $5$，化簡後也是 $2$ 比 $3$，兩者一致，相似比確定是 $2:3$。
4. 4

   代入求 BD

   由 $\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BD}}=\dfrac{2}{3}$ 得 $\dfrac{4}{\overline{BD}}=\dfrac{2}{3}$，交叉相乘得 $2\times\overline{BD}=12$，所以 $\overline{BD}=6$。

關鍵觀念：#圓內兩弦相交 #比例線段