108學年鷺江國中第2次段考數學 第17題 詳解

逐步解析

1. 1

   先把比例設成未知數

   $\overline{PA}:\overline{AB}=1:2$，設 $\overline{PA}=k$，則 $\overline{AB}=2k$。由圖可知 $A$ 在 $P$ 與 $B$ 之間，所以 $\overline{PB}=\overline{PA}+\overline{AB}=k+2k=3k$。
2. 2

   寫出切割線定理

   $\overrightarrow{PC}$ 切圓於 $C$、$\overrightarrow{PB}$ 是割線，切割線定理說：切線長的平方等於割線上「從 $P$ 到近交點」乘以「從 $P$ 到遠交點」，即 $\overline{PC}^2=\overline{PA}\times\overline{PB}$。
3. 3

   代入數字解出 k

   代入 $\overline{PC}=9$、$\overline{PA}=k$、$\overline{PB}=3k$：$9^2=k\times3k$，即 $81=3k^2$，所以 $k^2=27$，$k=\sqrt{27}=3\sqrt3$（長度取正值）。
4. 4

   回答題目問的線段

   題目要的是 $\overline{AB}$，不是 $k$。$\overline{AB}=2k=2\times3\sqrt3=6\sqrt3$。所以 $\overline{AB}=6\sqrt3$。

關鍵觀念：#切割線定理 #比例線段

同主題一起複習：直線與圓錐曲線 →