108學年鷺江國中第2次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先看清楚這是哪一種公切線

   半徑和是 $4+8=12$，而 $\overline{O_1O_2}=15>12$，所以兩圓外離。再看圖：這條切線從兩圓中間穿過去，$\overline{O_1B}$ 與 $\overline{O_2A}$ 分別指向切線的兩側，所以它是一條內公切線，不是外公切線。
2. 2

   標出兩個直角

   切線垂直於過切點的半徑，所以 $\overline{O_1B}\perp\overline{AB}$、$\overline{O_2A}\perp\overline{AB}$，其中 $\overline{O_1B}=4$、$\overline{O_2A}=8$。既然兩條半徑都垂直於同一條直線，它們互相平行。
3. 3

   把兩條半徑接成一條

   把 $\overline{O_2A}$ 越過 $A$ 再延長，在延長線上取 $H$ 使 $\overline{AH}=4$。此時 $\overline{AH}$ 與 $\overline{O_1B}$ 平行且等長，所以四邊形 $O_1BAH$ 是長方形，於是 $\overline{O_1H}=\overline{BA}$，而且 $\overline{O_1H}\perp\overline{O_2H}$。
4. 4

   用畢氏定理算斜邊上的股

   $\overline{O_2H}=\overline{O_2A}+\overline{AH}=8+4=12$，也就是兩半徑之和。在直角三角形 $O_1HO_2$ 中，斜邊 $\overline{O_1O_2}=15$、一股 $\overline{O_2H}=12$，所以 $\overline{O_1H}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$。
5. 5

   換回原來的線段

   由長方形性質，$\overline{AB}=\overline{O_1H}=9$。整理成公式就是：內公切線長 $=\sqrt{\overline{O_1O_2}^2-(r_1+r_2)^2}$。所以 $\overline{AB}=9$。

關鍵觀念：#兩圓位置關係 #公切線 #畢氏定理

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