108學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

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   外心的基本性質

   $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，所以 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$，$\triangle OAB$、$\triangle OBC$、$\triangle OCA$ 都是等腰三角形。先看 $\triangle OBC$：頂角 $\angle BOC=160°$，所以兩底角 $\angle OBC=\angle OCB=(180°-160°)\div2=10°$。
2. 2

   情況一：同側

   若 $O$ 與 $A$ 在 $\overline{BC}$ 的同一側，設 $\angle OAB=\angle OBA=x$、$\angle OAC=\angle OCA=y$。此時 $\angle A=x+y$、$\angle B=x+10°$、$\angle C=y+10°$。由三內角和：$(x+y)+(x+10°)+(y+10°)=180°$，整理得 $2(x+y)=160°$，所以 $\angle A=x+y=80°$。
3. 3

   情況二：異側

   若 $O$ 與 $A$ 在 $\overline{BC}$ 的兩側，同樣設 $\angle OAB=\angle OBA=x$、$\angle OAC=\angle OCA=y$。這時射線 $\overline{BO}$ 落到 $\angle ABC$ 的外面，$\angle B=x-10°$；同理 $\angle C=y-10°$；$\angle A$ 仍是 $x+y$。由三內角和：$(x+y)+(x-10°)+(y-10°)=180°$，整理得 $2(x+y)=200°$，所以 $\angle A=x+y=100°$。
4. 4

   為什麼會有兩種

   $O$ 到 $A$、$B$、$C$ 等距，等於說 $A$、$B$、$C$ 都在以 $O$ 為圓心的同一個圓上。$B$、$C$ 把這個圓分成一長一短兩段弧，$A$ 可以落在長弧上（就是情況一，$\angle A=80°$ 為銳角），也可以落在短弧上（就是情況二，$\angle A$ 為鈍角、$O$ 被推到三角形外面）。題目只給 $\angle BOC=160°$，沒有限定 $A$ 在哪一段，兩種都成立。
5. 5

   寫出兩個答案

   $\angle A=80°$ 或 $\angle A=100°$，兩個都要寫出來才算完整。

關鍵觀念：#外心 #圓心角 #圓周角

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