108學年鷺江國中第3次段考數學 第18題 詳解

逐步解析

1. 1

   建立坐標

   $\angle B=90°$，把 $B$ 放在原點，$\overline{BC}$ 沿 $x$ 軸、$\overline{BA}$ 沿 $y$ 軸，得 $B(0,0)$、$C(3,0)$、$A(0,4)$。由畢氏定理 $\overline{AC}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 2

   外心在斜邊中點

   直角三角形的外心就是斜邊的中點，所以 $O$ 是 $\overline{AC}$ 的中點。把 $A(0,4)$ 與 $C(3,0)$ 的坐標各取平均，得 $O(1.5,2)$。
3. 3

   求出內心的位置

   直角三角形的內切圓半徑 $r=\frac{\text{兩股和}-\text{斜邊}}{2}=\frac{4+3-5}{2}=1$。內心到兩股的距離都是 $r=1$，而兩股正好落在兩條坐標軸上，所以 $I(1,1)$。
4. 4

   算兩點間距離

   $\overline{IO}=\sqrt{(1.5-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{0.5^2+1^2}=\sqrt{0.25+1}=\sqrt{1.25}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt5}{2}$。

關鍵觀念：#內心 #外心 #直角三角形

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