108學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先看 BPC 這一塊

   $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$P$ 是中線 $\overline{AD}$ 的中點。$\triangle BPC$ 和 $\triangle ABC$ 同樣以 $\overline{BC}$ 為底，而 $P$ 到 $\overline{BC}$ 的距離恰好是 $A$ 到 $\overline{BC}$ 距離的一半，所以 $\triangle BPC=\frac{1}{2}\triangle ABC$。
2. 2

   看出 R 是重心

   在 $\triangle BPC$ 裡：$D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，所以 $\overline{PD}$ 是它的一條中線；$Q$ 是 $\overline{BP}$ 的中點，所以 $\overline{CQ}$ 是它的另一條中線。而 $R$ 是 $\overline{CQ}$ 與 $\overline{AD}$ 的交點，$P$、$D$ 都在 $\overline{AD}$ 上，所以 $R$ 就是 $\overline{PD}$ 與 $\overline{CQ}$ 的交點——兩條中線的交點，也就是 $\triangle BPC$ 的重心。
3. 3

   重心把面積三等分

   重心和三個頂點連起來，會把三角形分成面積相等的三塊，所以 $\triangle RBP=\frac{1}{3}\triangle BPC$。
4. 4

   再切一半

   $Q$ 是 $\overline{BP}$ 的中點，$\triangle PQR$ 與 $\triangle RBP$ 同高（頂點都是 $R$），底 $\overline{PQ}$ 只有 $\overline{PB}$ 的一半，所以 $\triangle PQR=\frac{1}{2}\triangle RBP=\frac{1}{6}\triangle BPC$。
5. 5

   合起來算倍數

   $\triangle PQR=\frac{1}{6}\triangle BPC=\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}\triangle ABC=\frac{1}{12}\triangle ABC$。所以 $\triangle ABC$ 的面積是 $\triangle PQR$ 的 $12$ 倍。

關鍵觀念：#中點 #三角形面積比

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