108學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   內心代表什麼

   $I$ 是五邊形 $ABCDE$ 的內心，表示有一個以 $I$ 為圓心的圓和五個邊都相切，因此 $I$ 到每一邊的距離都相等。$\overline{IF}\perp\overline{CD}$，所以 $\overline{IF}$ 正是這個共同的距離，設它為 $r$。
2. 2

   切成五個三角形

   把 $I$ 和五個頂點連起來，五邊形被分成 $\triangle IAB$、$\triangle IBC$、$\triangle ICD$、$\triangle IDE$、$\triangle IEA$ 五塊。每一塊的底就是五邊形的一條邊，而高全都是 $r$。
3. 3

   面積列成周長的式子

   五邊形面積 $=\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times r+\frac{1}{2}\times\overline{BC}\times r+\cdots+\frac{1}{2}\times\overline{EA}\times r$。把 $\frac{1}{2}r$ 提出來，括號裡剩下的五個邊長相加就是周長，所以面積 $=\frac{1}{2}\times$ 周長 $\times r$。
4. 4

   代入求半徑

   $120=\frac{1}{2}\times48\times r=24r$，所以 $r=5$，即 $\overline{IF}=5$。

關鍵觀念：#內心 #內切圓半徑 #面積與周長關係

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