108學年鷺江國中第3次段考數學 第15題 詳解

逐步解析

1. 1

   內心到三邊等距

   $I$ 是 $\triangle ABC$ 的內心，也就是內切圓的圓心，所以 $I$ 到 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 的距離都等於內切圓半徑 $r$。
2. 2

   切成三塊小三角形

   連接 $\overline{IA}$、$\overline{IB}$、$\overline{IC}$，$\triangle ABC$ 被分成 $\triangle AIB$、$\triangle BIC$、$\triangle CIA$ 三塊。它們分別以 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 為底，而高全都是 $r$。
3. 3

   面積比就是邊長比

   $\triangle AIB:\triangle BIC:\triangle CIA=\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times r:\frac{1}{2}\times\overline{BC}\times r:\frac{1}{2}\times\overline{CA}\times r=\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{CA}$。也就是說，三塊的面積比就等於對應底邊的長度比。
4. 4

   代入等腰直角三角形

   $\angle A=90°$ 且為等腰，兩股是 $\overline{AB}=\overline{AC}$。設 $\overline{AB}=\overline{AC}=1$，由畢氏定理 $\overline{BC}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$。代回上式：$\triangle AIB:\triangle BIC:\triangle CIA=1:\sqrt2:1$。

關鍵觀念：#內心 #面積比 #角平分線

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