108學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   切線垂直於半徑

   $\overline{AC}$ 切圓 $O$ 於 $C$ 點，切線與過切點的半徑互相垂直，所以 $\overline{OC}\perp\overline{AC}$，即 $\angle OCA=90°$。這是整題唯一的直角，一定要先標出來。
2. 2

   先求圓心角 ∠AOC

   $\triangle OCA$ 的三個內角是 $\angle A=36°$、$\angle OCA=90°$、$\angle AOC$。由內角和得 $\angle AOC=180°-90°-36°=54°$。
3. 3

   用等腰三角形算 ∠OCB

   $O$、$B$、$A$ 三點共線，所以 $\angle BOC$ 和 $\angle AOC$ 是同一個角，$\angle BOC=54°$。又 $\overline{OB}=\overline{OC}$（都是半徑），$\triangle OBC$ 是等腰三角形，兩底角相等：$\angle OCB=\angle OBC=(180°-54°)\div2=63°$。
4. 4

   相減得到答案

   $\overline{CB}$ 落在 $\angle OCA$ 的內部，所以 $\angle ACB=\angle OCA-\angle OCB=90°-63°=27°$。
5. 5

   換弦切角再驗算一次

   $\angle ACB$ 其實就是切線 $\overline{CA}$ 與弦 $\overline{CB}$ 的夾角，也就是弦切角，它等於所夾弧 $\overparen{BC}$ 的一半。圓心角 $\angle BOC=54°$ 表示 $\overparen{BC}=54°$，所以 $\angle ACB=54°\div2=27°$，兩種做法完全吻合。所以 $\angle ACB=27$ 度。

關鍵觀念：#切線 #弦切角

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