108學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

答案$\dfrac{48}{5}$（即 $9.6$）看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先找出直角

   $\overline{PA}$ 切圓 $O$ 於 $A$，切線垂直於過切點的半徑，所以 $\overline{OA}\perp\overline{PA}$，$\triangle OAP$ 是直角在 $A$ 的直角三角形，斜邊是 $\overline{OP}=10$。
2. 2

   算出切線長

   由畢氏定理，$\overline{PA}=\sqrt{\overline{OP}^2-\overline{OA}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$。由切線長定理，$\overline{PB}=\overline{PA}=8$。
3. 3

   連心線垂直平分 AB

   因為 $\overline{PA}=\overline{PB}$、$\overline{OA}=\overline{OB}$，$P$ 與 $O$ 都落在 $\overline{AB}$ 的垂直平分線上，所以 $\overleftrightarrow{OP}$ 就是 $\overline{AB}$ 的垂直平分線。設 $\overline{AB}$ 與 $\overline{OP}$ 交於 $M$，則 $\overline{AM}=\overline{BM}$ 且 $\overline{AM}\perp\overline{OP}$，也就是說 $\overline{AM}$ 正好是 $\triangle OAP$ 斜邊上的高。
4. 4

   用面積算出一半的長度

   $\triangle OAP$ 的面積有兩種算法：用兩股算是 $\dfrac{1}{2}\times6\times8=24$；用斜邊配高算是 $\dfrac{1}{2}\times10\times\overline{AM}$。兩者相等，得 $\overline{AM}=\dfrac{48}{10}=\dfrac{24}{5}$。
5. 5

   乘以二得整條弦

   $\overline{AB}=2\times\overline{AM}=2\times\dfrac{24}{5}=\dfrac{48}{5}$。所以 $\overline{AB}=\dfrac{48}{5}$，也就是 $9.6$。

關鍵觀念：#切線長定理 #畢氏定理

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