108學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先找出兩個直角

   $\overline{AB}$ 切圓 $O$ 於 $B$，切線垂直於過切點的半徑，所以 $\overline{OB}\perp\overline{AB}$；又 $O$ 就在 $\overline{BC}$ 上，所以 $\angle ABC=90°$，$\triangle ABC$ 是直角三角形。同理 $\overline{AC}$ 切圓於 $E$，$\overline{OE}\perp\overline{AC}$，$\angle OEC=90°$。
2. 2

   把小三角形的周長拆開

   $\overline{OE}$ 是半徑，$\overline{OE}=6$。$\triangle OEC$ 的周長是 $\overline{OE}+\overline{EC}+\overline{CO}=24$，所以 $\overline{EC}+\overline{CO}=24-6=18$。
3. 3

   配上畢氏定理解出兩段

   $\triangle OEC$ 的直角在 $E$，所以 $\overline{CO}^2=\overline{EC}^2+6^2$。把 $\overline{CO}=18-\overline{EC}$ 代入：$(18-\overline{EC})^2=\overline{EC}^2+36$，展開得 $324-36\overline{EC}+\overline{EC}^2=\overline{EC}^2+36$，化簡為 $36\overline{EC}=288$，得 $\overline{EC}=8$，再回代 $\overline{CO}=10$。
4. 4

   找出相似三角形與相似比

   $\triangle CEO$ 與 $\triangle CBA$ 共用 $\angle C$，且 $\angle CEO=\angle CBA=90°$，由 AA 得兩者相似。再算 $\overline{CB}=\overline{CO}+\overline{OB}=10+6=16$，所以相似比 $\overline{CE}:\overline{CB}=8:16=1:2$。
5. 5

   周長比等於相似比

   相似三角形的對應邊成比例，周長也依同樣的比例放大，所以 $\triangle ABC$ 的周長 $=24\times2=48$。驗算一下：$\overline{AB}=2\times\overline{OE}=12$、$\overline{AC}=2\times\overline{OC}=20$、$\overline{BC}=16$，周長 $12+16+20=48$，吻合。所以 $\triangle ABC$ 的周長是 $48$。

關鍵觀念：#切線長定理 #三角形周長

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