108學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

答案① $120°$ ② $90°$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   一等分是幾度

   六個點把圓周分成六等分，每一小段弧都是 $360°\div6=60°$。依圖上的位置，順時針的順序是 $B$、$A$、$F$、$E$、$D$、$C$，再繞回 $B$，相鄰兩點之間都是 $60°$。
2. 2

   ① 數出 BAF 佔幾段

   $\overparen{BAF}$ 中間夾了一個 $A$，表示要走「經過 $A$」的那一側。從 $B$ 到 $A$ 是一段，從 $A$ 到 $F$ 又是一段，共兩段，所以 $\overparen{BAF}=60°\times2=120°$。
3. 3

   ② 先把兩個圓周角算出來

   $G$ 在 $\overline{BD}$ 上，所以 $\triangle GDF$ 在 $D$ 的角就是 $\angle BDF$。它是圓周角，對的是 $\overparen{BAF}=120°$，所以 $\angle BDF=120°\div2=60°$。同樣地，$G$ 在 $\overline{CF}$ 上，$\triangle GDF$ 在 $F$ 的角就是 $\angle DFC$，它對的是 $\overparen{CD}=60°$（$C$ 與 $D$ 相鄰），所以 $\angle DFC=60°\div2=30°$。
4. 4

   ② 用外角定理收尾

   $G$ 是 $\overline{CF}$ 與 $\overline{BD}$ 的交點，$B$、$G$、$D$ 三點共線，所以 $\angle BGF$ 是 $\triangle GDF$ 在 $G$ 的外角，等於兩個不相鄰內角之和：$\angle BGF=\angle GDF+\angle GFD=60°+30°=90°$。
5. 5

   寫出兩小題的答案

   ① $\overparen{BAF}=120°$；② $\angle BGF=90°$，也就是說 $\overline{CF}$ 與 $\overline{BD}$ 在 $G$ 點互相垂直。

關鍵觀念：#圓周角 #弧度數 #圓內兩弦相交

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