三角函數

高中 · 歷屆 12 題 · 跨 5 份考卷

三角函數怎麼算？
這裡整理了113分科測驗、113學測、114分科測驗、114學測、115學測共 12 題三角函數考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

三角函數×6 三角函數圖形×2 三角比×2 圖形對稱×2 旋轉矩陣×2 矩陣乘法×2 三角方程 余弦定理 倍角公式 向量比例 和差公式 圓周角 坐標幾何 多選題判斷 對稱性 弦長公式 數列 方程根與交點 方程解的個數 極限 正切 正弦函數 正弦定理 級數 聯立不等式 聯立方程 逆時針旋轉 鏡射矩陣 餘弦定理 高

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 高低比・求邊長113分科測驗數學甲 第1題
   最容易錯在把正切寫成鄰邊除以對邊，或忘了底邊要分成兩段相加。
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2. 三角方程・和差化積113學測數學A 第4題
   最容易錯在直接把 $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 展開後，沒有先整理成同一邊，導致後面漏掉解或把解的個數算錯。
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3. 三角・坐標113學測數學A 第6題
   最容易漏掉半角公式，直接把 $\theta$ 當成 $\dfrac{\theta}{2}$ 代進去。
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4. 三角方程・對稱解114分科測驗數學甲 第1題
   最容易錯在直接把 $\sin\theta=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{5}\right)$ 認成角度相等，漏掉正弦還有「補角同值」；也有人算出 $\theta=\frac{2\pi}{5}+k\pi$ 後沒檢查範圍，誤選到超出 $\pi$ 的解。
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5. 數列・週期判斷114分科測驗數學甲 第5題
   最容易錯在把 $\cos(n\pi-\frac{\pi}{6})$ 展開後漏掉 $\sin(n\pi)=0$，或把冪次 $(-1)^{n^2}$ 錯看成一定是 $1$。另外第五題常有人忘記先判斷公比大小，直接硬套公式。
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6. 旋轉矩陣・跡值114分科測驗數學甲 第9題
   最容易錯在把 $BA$ 當成 $AB$，或是鏡射矩陣的第二列、第二行變號弄反。還有些同學會只算矩陣某一格的值，忘了題目要的是四個元素「總和」；這題關鍵其實是先抓住總和會變成 $2\cos\theta$ 和 $-2\sin\theta$。
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7. 三角不等式・區間114學測數學A 第5題
   最容易錯在把兩個不等式各自解完就直接相加，忘了要取交集；另外倍角展開後，乘積正負號要分清楚。
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8. 正弦圖・水平線114學測數學A 第10題
   最容易把對稱點寫反，還有把交點個數和位置混在一起。
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9. 外接圓・弦長114學測數學A 第17題
   最容易錯在把「外接圓上的弦長」當成一般三角形邊長直接硬算，忘了先用條件選定點 $D$ 的位置。
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10. 旋轉矩陣・冪次114學測數學A 第18題
    把右上角看成正弦，忘了旋轉矩陣右上角要帶負號。
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11. 函數圖形・交點判讀115學測數學A 第11題
    最容易錯在把「有一個特殊交點」誤判成「整體交點數有固定規律」。另外也常忘記先檢查指定點是不是在曲線上，就直接代直線算斜率，這樣很容易把(3)看錯。
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12. 三角比・向量比115學測數學A 第17題
    最容易錯在把 $\angle BDC$ 誤看成 $90^\circ-x$，或忘記 $\angle BCD=2x$ 後要用正弦定理連到 $BC/BD$。
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歷屆考題與答案