三角函數

國中・高中 · 歷屆 77 題 · 跨 36 份考卷

三角函數怎麼算？
這裡整理了108學年鷺江國中第2次段考、109學年鷺江國中第2次段考、110學年新莊國中第2次段考、110學年鷺江國中第2次段考、110會考、111學年新莊國中第1次段考、111學年新莊國中第2次段考、111學年鷺江國中第2次段考、111分科測驗、111學測、112學年新莊國中第2次段考、112學年鷺江國中第2次段考、112學年新莊國中第3次段考、112分科測驗、112會考、112學測、113學年新莊國中第2次段考、113學年鷺江國中第2次段考、113學年新莊國中第3次段考、113學年鷺江國中第3次段考、113分科測驗、113會考、113學測、114學年新莊國中第2次段考、114學年鷺江國中第2次段考、114分科測驗、114會考、114學測、115分科測驗、115會考、115學測共 77 題三角函數考題的逐步詳解與答案，並把這個主題最常見的卡點彙整在一起。先看卡點，再挑題目練——比從頭寫一遍有效率。

三角比×18 三角函數×12 弧度×7 圓周角×7 三角比（課外補充）×5 弧度數×4 直角三角形×4 圓內接四邊形×4 餘弦定理×4 平行弦×3 正切×3 正弦定理×3 坐標幾何×3 特殊角×3 圓周角定理×3 三角比應用×2 三角形面積×2 三角函數圖形×2 切線性質×2 外接圓×2 立體幾何×2 同心圓×2 向量內積×2 直角三角形應用×2 相似三角形×2 特殊角三角比×2 矩陣乘法×2 高×2 旋轉矩陣×2 等腰三角形×2 圓內兩弦相交×2 圖形對稱×2 sin/cos/tan×2 30-60-90三角形 三角方程 三角形高度計算 三角函數合成 三角函數合併 內切圓 內心 切線 切線長 切點 方程根與交點 方程解的個數 半圓 正切函數 正切定義 正弦 正弦函數 正弦餘弦正切 生活應用 仰角 向量比例 向量幾何 多選題判斷 余弦定理 角度與弧度轉換 兩圓相交 函數等價 和角公式 和差公式 弦切角定理 弦心距 弦長 弦長公式 弧 弧長比例 弧度制 弧度計算 弧度關係 弧與圓周角 拋物線 直線方程式 空間坐標 空間投影 度轉弧度公式 相交弦定理 計算機操作 面積比 俯角 倍角公式 扇形周長 扇形面積 特殊直角三角形 級數 逆時針旋轉 商高定理 斜角與斜率 旋轉角度 球面弧長 畢氏定理 組合 最大值 最簡根式 單位圓 測量問題 焦點弦 等差數列 等腰直角三角形 等腰梯形性質 等邊三角形 週期性 圓 圓內接四邊形角度 圓心角 圓外角 圓外角（兩割線夾角） 圓周角與弧 圓的性質 極限 準線 經緯度 圖形平移 對稱性 對稱軸 摺疊問題 數列 餘弦定理或坐標法 應用問題 聯立不等式 聯立方程 鏡射矩陣 cos cos定義

這個主題最常錯在哪

以下每一條都來自實際考題的解析，附原題連結。

1. 兩圓相交弧度求角度108學年鷺江國中第2次段考數學 第18題
   最典型的失誤是把弧的度數直接當成角的度數：好不容易算出不含 $B$ 的那段 $\overparen{DA}=160°$，看到題目問角度就順手填 $160$。圓周角永遠只有所對弧的一半，$160°$ 的弧只給得出 $80°$ 的角。第二個坑是算完 $\angle ABD=80°$ 就交卷，忘了 $C$ 在 $B$ 的另一側，要問的 $\angle ABC$ 得再補成平角，$180°-80°=100°$ 才是答案。
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2. 六等分圓求弧度數與交角108學年鷺江國中第2次段考數學 第21題
   ①最常見的錯是弧繞錯邊，從 $B$ 經過 $C$、$D$、$E$ 繞到 $F$，算成 $60°\times4=240°$；弧的名字中間夾著 $A$，就是規定要走經過 $A$ 的那一側，不能自己改路線。②則常有人把 $\angle BGF$ 直接當成 $\overparen{BAF}$ 的一半，寫 $120°\div2=60°$；可是 $G$ 在圓的內部不在圓上，圓周角公式套不上去，必須改用外角定理，把兩段弧的貢獻一起算進來。
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3. 同心圓弧與圓周角求值（如圖）109學年鷺江國中第2次段考數學 第17題
   兩個圓的半徑不一樣，很多人以為 $50^\circ$ 要先「換算」到大圓才能用。其實弧的度數是角度不是長度，半徑再怎麼變都不會改變它。另一個坑是算到 $\angle AOB=50^\circ$ 就收手，忘了題目問的是圓周角、還要再除以 $2$，而 $50^\circ$ 根本不在選項裡。
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4. 直角三角形三角比判斷110學年新莊國中第2次段考數學 第2題
   三角比最常見的錯是記錯定義：(B) 的 $\dfrac{12}{13}$ 是鄰邊除以斜邊，那是 $\cos A$ 不是 $\tan A$；(C) 的 $\dfrac{5}{12}$ 是對邊除以鄰邊，那是 $\tan A$ 不是 $\cos A$。另外對邊、鄰邊都是相對於正在看的那個角：對 $\angle A$ 而言 $\overline{BC}$ 是對邊，換成 $\angle B$ 就變成鄰邊。先圈角、找對邊，再套定義。
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5. 弦心距與扇形面積110學年新莊國中第2次段考數學 第16題
   最常見的錯是把 $\angle A=45^\circ$ 當成扇形的圓心角，算出 $\dfrac98\pi$，不在選項中。扇形 $AOB$ 的圓心角是頂點在 $O$ 的 $\angle AOB$，要由 $\angle A=45^\circ$ 推到 $\angle AOM=45^\circ$，再乘以 $2$。另外要注意，扇形面積要用圓心角占 $360^\circ$ 的比例，不是用 $\angle A$。
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6. 仰角應用問題求樹高110學年新莊國中第2次段考數學 第19題
   最常見的錯是算出 $\overline{BC}=2.24$ 就當成樹高，忘了 $\overline{BC}$ 只是從眼睛高度量上去的那一段，還要加上眼睛離地的 $1.5$ 公尺。另外單位要統一：身高與步長給公分、答案要公尺，先換成公尺再代入，就不會把 $150$ 和 $2.24$ 直接相加。
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7. 直角三角形求餘弦值110學年鷺江國中第2次段考數學 第9題
   最常見的錯是把邊配錯：拿對邊除以斜邊得 $\dfrac{4}{6}=\dfrac23$ 選 (A)，那其實是 $\sin A$；把對邊除以鄰邊得 $\dfrac{4}{2\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}$ 選 (D)，那是 $\tan A$；斜邊除以對邊得 $\dfrac32$ 選 (B)，比 $1$ 還大，$\cos$ 值不可能這樣。先認清哪條是斜邊、哪條是鄰邊再動手。
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8. 爬梯角度應用（三角比）110學年鷺江國中第2次段考數學 第22題
   題目一次給了 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 三個值，最容易選錯：用 $\cos68^\circ$ 會得 $8\times0.3746\approx3.00$，那是爬梯底端到牆角的距離；用 $\tan68^\circ$ 得 $8\times2.4751\approx19.80$，比爬梯本身還長，顯然不合理。先找出要的是對邊、已知的是斜邊，就知道該用 $\sin$。
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9. 圓內接四邊形與切線110會考數學 第17題
   最容易誤選A選項一百一十六度，因為看到角B等於五十八度就直接乘二，但角B對的是弧AC，不是弧BC，弧BC對的圓周角是角A。這題要善用「切線平行於弦BC」這個條件：切線與弦AC的弦切角等於弧AC的一半，再用平行的內錯角把它搬到角C，得到角C也是五十八度，最後用三百六十度減，或用角A的兩倍來算。
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10. 直角三角形三角比大小比較111學年鷺江國中第2次段考數學 第10題
    三角比最常見的錯誤是「站錯位置」。同一個直角三角形裡，$\angle A$ 的對邊是 $\overline{BC}$，$\angle C$ 的對邊卻是 $\overline{AB}$，兩個角的對邊鄰邊完全互換，所以 $\tan A$ 和 $\tan C$ 是一對倒數。寫式子前先在圖上標出「我現在站在哪個角」，對邊就是離這個角最遠、不與它相接的那條邊。另外要記牢範圍：銳角的正弦、餘弦一定介於 $0$ 與 $1$ 之間，正切則可以大於 $1$，比大小時這條規則常常能直接省掉一半計算。
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11. 切線長與扇形周長111學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
    扇形周長最常見的失分就是「只算弧、忘了兩條半徑」，把答案寫成 $4\pi$ 或 $4\pi+6$。請把扇形想成一片披薩，外圈的弧加上左右兩道直邊，三段都要算。第二個坑是圓心角：$\angle A=60^\circ$ 是頂點在 $A$ 的角，扇形要的是頂點在 $O$ 的 $\angle BOC=120^\circ$，兩者互補而不是相等，直接把 $60^\circ$ 拿去乘會少掉一半。求半徑時也別忘了 $\overline{AO}$ 會平分 $\angle A$，該用的是 $30^\circ$ 而不是 $60^\circ$。
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12. 三角形高與特殊角求邊長111學年鷺江國中第2次段考數學 第14題
    這題的關鍵在於「哪個角配哪個三角形」。$\angle C=60^\circ$ 只能用在右半邊的 $\triangle ADC$，$\angle B=45^\circ$ 只能用在左半邊的 $\triangle ABD$，而唯一能把兩邊接起來的橋樑是共用的高 $\overline{AD}$。最常見的失誤是拿 $45^\circ$ 去配 $\overline{AC}$，把高算成 $6\times\sin 45^\circ=3\sqrt{2}$，再用等腰直角得 $\overline{AB}=6$——整組數字剛好滑進 (C)，看起來也很像一個合理的答案。下筆前先在圖上把兩個小三角形分開畫，各自標好自己的角和邊，再動手算。另外別忘了用「直角邊必定短於斜邊」快速檢查答案。
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13. 特殊角三角形面積111學年鷺江國中第2次段考數學 第21題
    鈍角三角形求面積，最關鍵的一步是判斷高的垂足落在哪裡。$\angle B=120^\circ$ 是鈍角，從 $A$ 作的高一定落在 $\overline{CB}$ 的延長線上，所以底邊要用「減」的：$\overline{BC}=\overline{HC}-\overline{HB}$。若誤以為垂足在線段內而用加法，答案的符號就會反過來。另一個要記牢的是 $15^\circ$ 不是特殊角，遇到它不要硬套三角比，而要想辦法把圖切成 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 的組合。算完用小數估一次，負數或明顯過大的答案立刻現形。
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14. 拋物線・準線投影角111分科測驗數學甲 第7題
    所求 $\dfrac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}}$ 的分母要靠拋物線定義換成 $\overline{AF}$，才會變成某個三角形裡的三角比。(1) 是把分子分母顛倒，(4) 錯在 $\angle4$ 與 $\angle3$ 其實相等，餘弦不等於正弦。多選題最保險的做法是像最後一步那樣取一條具體拋物線與一條非水平的焦點弦逐項代數字。
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15. 立體積木・投影角111分科測驗數學甲 第12題
    容易錯在 $\overline{PM}$：拿 $\overline{BC}=10$ 或 $40-30=10$ 當作 $\overline{PM}$，會算成 $\tan=\dfrac{15}{10}=\dfrac32$。正確是「多出的 10 由等腰梯形對稱分到兩邊」各 5，並用三垂線定理確認 $\overline{PM}\perp\overline{BC}$。
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16. 三角形性質・正弦定理111學測數學A 第8題
    最容易在 (2) 誤判：有人以為要先算出角度才能比，其實 $A$、$C$ 都是銳角，直接用「大邊對大角、大角正弦大」即可。(5) 則常有人算出 $R\approx 2.08$ 後因太接近 2 而不敢下結論，把 $5\sqrt{34}$ 與 $28$ 平方比較就能確定；另外鈍角 $B$ 的正弦仍是正數。
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17. 梯形徵收・面積比例111學測數學A 第15題
    最常見的錯是把面積比 $\dfrac{9}{16}$ 直接當成高的比；相似形的面積比是邊長比的平方，要先開根號得 $\dfrac{3}{4}$。另一個坑是第二段路的寬：路寬是兩平行線 $BE$、$FC$ 的距離，要用 $\overline{BC}\sin 30°$ 算，不是 $\overline{BC}$ 本身，也不是 $\overline{BE}$。
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18. 球面弧長・緯度推算111學測數學B 第6題
    最容易誤選的是 (1) 北緯 $15^{\circ}$：看到 $15^{\circ}$ 就直接對號入座，忘了先確認圓心角 $105^{\circ}$ 已超過 $90^{\circ}$，代表甲地必須先跨過赤道才到北極，所以是南緯。另一個常見錯誤是把 $\dfrac{7}{12}\pi$ 誤當成緯度本身，或把弧長公式寫成 $r\theta$ 之外的形式。記住：弧長 $=r\theta$（$\theta$ 用弧度），而經線上的移動角度就是緯度差。
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19. 圓上兩點・向量內積111學測數學B 第14題
    最常見的錯誤是餘弦定理符號寫錯，把 $-2\,\overline{OA}\,\overline{OB}\cos\theta$ 寫成加號，會解出 $\cos\theta=-\dfrac{17}{49}$、內積 $-17$；也有人誤把 $\overline{AB}=8$ 當成直徑，直接用畢氏定理硬套。其實這題根本不用算出角度，記住 $|\vec{b}-\vec{a}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}$，把 $|\overrightarrow{AB}|=8$ 代進去一步就出來。
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20. 角度換算・弧度制111學測數學B 第18題
    最容易誤選的是 (2) $\dfrac{\pi}{18}$，因為看到 $18$ 就直覺放進分母；但 $\dfrac{\pi}{18}$ 換回角度是 $\dfrac{180^{\circ}}{18}=10^{\circ}$，並不是 $18^{\circ}$。正確做法是老實乘 $\dfrac{\pi}{180}$ 再約分：$\dfrac{18}{180}=\dfrac{1}{10}$。做完可以反向驗算：$\dfrac{\pi}{10}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi}=18^{\circ}$，確認無誤。
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21. 直角三角形cosA求值112學年鷺江國中第2次段考數學 第1題
    最常見的錯是把 sin 和 cos 記混：看到「五」跟「十三」都出現在題目裡，就順手寫成十三分之五。記法就背「正弦對斜、餘弦鄰斜、正切對鄰」。另一個坑是忘了對邊鄰邊是「相對於哪個角」而講的：同一個三角形裡，對 ∠B 來說十二才是對邊、五才是鄰邊，所以寫三角比之前一定要先把角指定清楚。
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22. 平行弦與弧求弧度112學年鷺江國中第2次段考數學 第21題
    這題最關鍵的是看清楚弧CDB走哪一邊。符號中間夾著 D，就表示這段弧必須經過 D 點，也就是繞遠的那一邊，答案會大於一百八十度；如果算出一百二十三度，代表走的是經過 A 的那一段，要用三百六十度減回去。另一個易錯點是平行線搬角度時配錯角：OC 平行 AB，要用連起來的半徑 OA 當截線，∠AOC 與 ∠OAB 才是內錯角；拿 OB 當截線得到的是同側內角，兩角和才是一百八十度。
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23. 直角三角形外部等腰三角形・距離平方112分科測驗數學甲 第9題
    最容易錯在「外部」的方向：兩個等腰三角形都要畫在 $\triangle ABC$ 外側，若把 $M$ 放到與 $C$ 同側，距離就完全不同。坐標法要用 $C$ 代入直線 $AB$ 方程式判斷哪一側遠離 $C$；餘弦定理法的 $\angle MAN$ 是 $30^\circ+\angle A+30^\circ$，不是相減。
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24. 摺紙圓弧度數112會考數學 第19題
    摺紙題的核心是「摺線是對稱軸」：摺後的點 $D$ 和摺前的點 $D'$ 對稱，所以和摺線的夾角相等。常見錯誤是直接把 $\widehat{AB}=145°$ 當答案，或憑圖上看起來的位置猜。正確流程：先算摺前的弧與圓周角，再用對稱求出 $\angle BAD'$，最後用「圓周角等於所對弧的一半」換回弧的度數，$145°-35°=110°$。
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25. 單位圓切線・正切幾何意義112學測數學A 第2題
    θ 標在 E 點，很多人就直接在三角形 O C E 裡找對邊和鄰邊，結果把 C E 當成對邊而選成 C E，那其實是 cot θ。關鍵是先利用「切線垂直半徑」找出直角，再用角度互補把 θ 搬到 O 點，發現角 C O D 也等於 θ，這時對邊 C D 除以鄰邊 O C 等於一，tan θ 才會直接等於一條線段的長度。
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26. 三角函數合成・圖形對稱112學測數學A 第12題
    這題的關鍵是先合成為二倍的 sin x 加三分之 π，之後每個選項都變成基本的正弦圖形問題。常見錯誤有三個：解方程時忘了 x 的範圍要平移成 x 加三分之 π 的範圍，因而漏掉端點零和二 π 的解；以為所有對稱軸上的函數值都一樣，其實最高點和最低點輪流出現；看到 sin 平方就以為和 f 無關，其實用半角公式降次後振幅也是二，可以平移重合。
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27. 等腰三角形・餘弦定理求邊長112學測數學A 第18題
    最常見的錯是從 A 作高後，只算到 O M 等於 cos θ 就停下來選 cos θ，忘了 O P 是它的兩倍。另一個陷阱是被圖中的 B、Q 和直角 P O Q 分心，這一題用不到這些條件，只需要右側的等腰三角形 O A P。用餘弦定理列式時記得 A P 和 O A 都是一，方程會化成 O P 乘上 O P 減二 cos θ 等於零。
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28. 俯角測量・繩索長度112學測數學B 第3題
    最容易錯的是 $\sin$ 和 $\cos$ 弄反而選 (5)：關鍵是搞清楚 $150$ 是「水平距離」，它相對於俯角 $22°$ 是鄰邊，鄰邊比斜邊用 $\cos$。也有人選 (3) $150\cos22°$，但繩索是斜邊，不可能比直角邊 $150$ 還短。動手畫出直角三角形、標好哪邊是水平、哪邊是繩索，再決定用哪個三角比，就不會錯。
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29. 向量旋轉・內積計算112學測數學B 第15題
    最常見的錯誤是數錯轉了幾次：從 $\overrightarrow{P_2P_3}$ 到 $\overrightarrow{P_5P_6}$ 是在 $P_3$、$P_4$、$P_5$ 各轉一次，共 $3$ 次 $45°$，不是 $4$ 次 $60°$。用「第 $n$ 段方向角是 $\theta+15°(n-1)$」寫下來再相減最不會錯。內積用夾角的餘弦，長度 $2\times2=4$ 別漏乘，$4\cos45°=2\sqrt2$。
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30. 直角三角形三角比對應113學年鷺江國中第2次段考數學 第2題
    最常見的錯是把「對邊」認成夾住這個角的邊。正弦一定是「對邊比斜邊」，而對邊是這個角正對面的那一條，不是夾角的邊。這題 (B) 的 $\sin C$ 與 (C) 的 $\cos B$ 都算出 $\dfrac{4}{5}$，正是把 $\angle B$ 的對邊與鄰邊互換的結果。另外務必先確認直角在哪裡：這題直角在 $A$，斜邊是 $\overline{BC}=25$；若誤把 $\overline{AB}=20$ 當斜邊，四個比值會全部算錯。
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31. 平行弦與弧度關係113學年鷺江國中第2次段考數學 第12題
    關鍵在於分清楚「$\overline{OC}$ 是半徑，不是弦」。有人看到平行就直接套用「兩條平行弦所夾的弧相等」，把 $\widehat{AD}$ 寫成等於 $\widehat{CB}$ 或直接抄 $60°$——這一題結果碰巧也是 $60°$，但推理過程是錯的，換一組數字就會整題崩掉。正確做法是把平行轉成「同位角相等」，再把圓周角與圓心角分別用弧的度數表示，列出方程式解出來。
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32. 等腰梯形對角線長求值113學年鷺江國中第3次段考數學 第24題
    最常見的錯是挑錯直角三角形：拿高 $\overline{AP}=4$ 去配 $\overline{BP}=3$，算成 $\sqrt{4^2+3^2}=5$，但那算回來的是腰 $\overline{AB}$ 自己。對角線 $\overline{AC}$ 要配的水平長度是 $\overline{PC}=\overline{PQ}+\overline{QC}=7+3=10$，不是 $3$。另一個錯是算到 $\sqrt{116}$ 就交卷，沒化成最簡根式；看到根號內是 $4$ 的倍數就要把完全平方數開出來，寫成 $2\sqrt{29}$。
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33. 高低比・求邊長113分科測驗數學甲 第1題
    全班最容易錯在分數運算：$12\div\dfrac{3}{2}$ 要乘倒數 $\dfrac{2}{3}$ 得 $8$，別順手乘成 $18$；合併時 $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}$ 務必動筆以 6 為公分母寫成 $\dfrac{13}{6}$，心算成 $\dfrac{5}{3}$ 就會算出 20 而掉進 (1) 的陷阱。
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34. 兩半圓相交・弧度求解113會考數學 第21題
    最容易搞混的是「同一個角在兩個圓裡身分不同」。∠EBC 在大半圓中 B 是圓心，它是圓心角，度數等於弧 CE；但在小半圓中 B 只是圓周上的一點，同樣的 ∠EBD 就變成圓周角，弧 ED 要乘以 2，分不清就會把弧 ED 寫成 58°。做題時先標出每個半圓的圓心，再判斷角的頂點在圓心還是圓周上。
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35. 三角方程・和差化積113學測數學A 第4題
    和差化積的角度最容易算錯：$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\sin x$ 的「平均角」是 $x+\dfrac{\pi}{12}$、「半差角」是 $\dfrac{\pi}{12}$，把 $\dfrac{\pi}{12}$ 寫成 $\dfrac{\pi}{6}$ 整題就歪掉。另外約去 $\sin\dfrac{\pi}{12}$ 之前要先確認它不為 0，才不會漏解或多解。
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36. 三角・坐標113學測數學A 第6題
    半角這一步最容易錯：一是直接把 $\cos\theta=\dfrac{7}{18}$ 塞進餘弦定理，忘了夾角其實是 $\dfrac{\theta}{2}$；二是半角公式誤用成 $\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}$（那是 $\sin\dfrac{\theta}{2}$）。正確是 $\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}=\dfrac{5}{6}$。
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37. 圓周等分・等差角三角形113學測數學B 第17題
    最常見的錯誤是用邊長去想，其實三角形內角是圓周角，只跟所對的弧有關；換成弧段數後題目變成「三段弧成等差」，中間項一定是 4。第二個陷阱是重複計算：正三角形三條邊都是差 4 的弦，用弦來數會算 3 次，要扣 $4\times2=8$。也別漏掉 $\{4,4,4\}$，等差允許公差為 0。
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38. 任意三角形cos定義是非判斷114學年鷺江國中第2次段考數學 第1題
    很多人把「餘弦是鄰邊比斜邊」背起來，看到 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 都和 $A$ 有關就順手當成 $\cos A$，忘了要先確認直角在哪裡、哪一邊才是斜邊。請記牢兩件事：第一，沒有直角就談不上三角比；第二，$\cos$ 的分母一定是斜邊，把兩股相比、或寫成斜邊比鄰邊都是錯的。判斷是非時先在圖上圈出直角，再對照定義，不要只看字母的排列順序。
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39. 同心圓弧度數與弦長關係是非判斷114學年鷺江國中第2次段考數學 第4題
    這題在考「度數」和「長度」的差別。弧的度數只記角度大小，跟圓畫多大完全無關；弧長和弦長則是量得出來的長度，半徑放大幾倍就跟著放大幾倍。很多人把「等弧」直接當成「等長」，於是把後半句也判成對。判斷時先問自己：這個量要不要帶公分這種單位？帶單位的一定會隨半徑改變，不帶單位的才跟半徑無關。
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40. 計算機操作方式計算sin是非判斷114學年鷺江國中第2次段考數學 第6題
    很多人覺得「該按的鍵都按了」就判成對，忽略了輸入和計算是兩回事，計算機要按下等號才會把結果算出來。不同機型輸入角度和按 sin 的先後不同，但「最後要按等號」是共通的。準備段考時，直接拿要帶進考場的那一台，照課本步驟按一次 $\sin 40°$，看螢幕是不是出現 $0.6427\ldots$，並確認模式停在 DEG，考場上才不會慌。
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41. 直角三角形三角比正確選項114學年鷺江國中第2次段考數學 第7題
    A 和 B 這兩個選項剛好是把 $\sin A$ 與 $\cos A$ 的值對調：實際上 $\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos A=\dfrac{1}{2}$，而 $\sin B=\dfrac{1}{2}$、$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。也就是說，把對邊和鄰邊認反，或不小心算成另一個銳角 $B$，得到的就正好是這兩個選項上的數值。下筆前先把直角圈起來、標明斜邊，再標出所求角的對邊與鄰邊，順序就不會亂掉。
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42. 弧度差與圓外角求角度114學年鷺江國中第2次段考數學 第15題
    兩種常見錯法都剛好踩在選項上：一是把 $\angle DPC$ 當成圓周角直接減半，算成 $60°\div 2=30°$；二是弧都解出來了卻拿錯那一段，用 $\widehat{AB}=70°$ 去算，得到 $70°\div 2=35°$。避開的方法是兩步確認：先看交點在圓內還是圓外（圓內用兩弧和的一半，圓外才用兩弧差的一半），再確認題目要的角所對的是哪一段弧，把那段弧圈起來再動筆。
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43. 圓內兩弦交點求弦段長114學年鷺江國中第2次段考數學 第21題
    最常見的錯誤是配錯組合，把不同弦上的線段湊在一起，寫成 $\overline{PA}\times\overline{PC}=\overline{PB}\times\overline{PD}$，算成 $2\times 3=6\times\overline{PD}$ 而得到 $\overline{PD}=1$。正確的配法是「同一條弦上的兩段相乘」要等於「另一條弦上的兩段相乘」：$\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 屬於弦 $\overline{AB}$，$\overline{PC}$、$\overline{PD}$ 屬於弦 $\overline{CD}$。下筆前先把哪兩段在同一條弦上圈起來，就不會配錯。
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44. 特殊角三角形面積計算114學年鷺江國中第2次段考數學 第26題
    這題的關鍵是選對「從哪個頂點作高」：從 $A$ 作，兩個已知角剛好各自落進一個直角三角形；若從 $B$ 或 $C$ 作，角度就拆不開。常見的兩個錯誤，一是把 $\overline{AB}=20$ 當成高直接拿去乘；二是把三邊比 $1:\sqrt{3}:2$ 套錯邊，把 $30°$ 的對邊當成 $\sqrt{3}$ 那一股、鄰邊當成 $1$ 那一股，於是高 $\overline{AH}$ 算成 $10\sqrt{3}$、$\overline{BH}$ 算成 $10$，面積會變成 $50\sqrt{3}+150$。畫完高之後，先把 $1:\sqrt{3}:2$ 和 $1:1:\sqrt{2}$ 兩組邊長比標在圖上再動筆，就不會記混。
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45. 三角方程・對稱解114分科測驗數學甲 第1題
    解 $2\theta+\dfrac{\pi}{5}=\pi$ 移項時把減號寫成加號，算成 $2\theta=\pi+\dfrac{\pi}{5}$，得 $\theta=\dfrac{3\pi}{5}$，恰好撞上誘答選項 (3)。防呆動作：解完一定把 $\theta$ 與 $\theta+\dfrac{\pi}{5}$ 都寫出來，檢查兩角相加是否等於 $\pi$（$\dfrac{2\pi}{5}+\dfrac{3\pi}{5}=\pi$ 才對）。
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46. 數列・週期判斷114分科測驗數學甲 第5題
    (5) 的 $(-1)^{n^2}$ 是全班陣亡最多的一步：把 $\left((-1)^n\right)^n$ 想成「負負得正、恆為 $1$」，級數就變成公比 $+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，和算成 $\sqrt{3}(2+\sqrt{3})$ 之類而誤刪 (5)。正確判法是盯住指數 $n^2$ 的奇偶：$n$ 奇則 $n^2$ 奇、$n$ 偶則 $n^2$ 偶，所以 $(-1)^{n^2}=(-1)^n$，公比是負的 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；不放心就實際代 $n=1$：$(a_1)^1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，第一項就是負的。
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47. 旋轉矩陣・跡值114分科測驗數學甲 第9題
    乘法順序是全班的斷點：題目給的是 $BA$（先旋轉、再鏡射），把它算成 $AB$ 會得到元素和 $2\sin\theta$，最後解出 $\tan\theta=\dfrac12$，正負號整個相反。矩陣乘法不可交換，動筆前先圈出誰在左邊。
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48. 螺紋剖面三角比・深度與間距比值114會考數學 第17題
    方向別搞混：深度、$\dfrac{H}{8}$、$\dfrac{H}{4}$ 都是「鉛垂」距離，間距是「水平」距離。最常見的錯誤是根本忘了換算間距、直接拿 $\dfrac{5}{8}$ 去選 (A)；再來是把間距算成半個峰寬而多出一倍選到 (C)。記住那個大正三角形：底＝間距、高＝$H$，橋就搭起來了。
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49. 三角不等式・區間114學測數學A 第5題
    因式分解 $2c^2-c-1$ 這步最多人手滑：正確是 $(2c+1)(c-1)$，寫成 $(2c-1)(c+1)$ 展開會多出 $+c$。防呆招：代 $c=1$ 檢查，原式應為 $0$，分解式若不為 $0$ 就是拆錯了。
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50. 正弦圖・水平線114學測數學A 第10題
    最常見的失誤是忘了 $[2,3]$ 還有一座正弦峰：只畫到 $x=2$ 就會誤以為交點恰 $3$ 個而錯選 (2)，判 (5) 時也會漏掉 $x_4$ 使總和只剩 $x_1+x_2+x_3=3+t<5$。動筆前先確認定義域 $0\le x\le3$ 涵蓋一個半週期、水平線共切出 $4$ 個交點。
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51. 外接圓・弦長114學測數學A 第17題
    $\overline{AD}$、$\overline{CD}$ 的二次方程都是「二解型」（$3\pm\sqrt2$），最危險的是不檢驗就讓兩者同取一值或隨意配對。必須用圓內接四邊形 $\angle ADC=180^\circ-\angle ABC$ 在 $\triangle ADC$ 中檢驗，確認兩者必為一大一小，再依 $\overline{AD}\le\overline{CD}$ 取 $\overline{CD}=3+\sqrt2$。
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52. 旋轉矩陣・冪次114學測數學A 第18題
    旋轉矩陣的負號位置是本題唯一的殺傷點：逆時針版負號在右上角的 $-\sin\theta$；一旦寫成負號在左下的順時針版，$c$ 會算成 $+1$ 而誤選 (3)。默寫完先用 $\theta=90^\circ$ 檢查：逆時針轉九十度應把點 $(1,0)$ 轉到 $(0,1)$，也就是矩陣第一行必須是 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$。
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53. 牆角擋板・立體正切值114學測數學B 第16題
    最常見的錯誤是把 $\angle CAB$ 當成某個直角三角形裡的角，例如直接用 $\dfrac{\overline{OC}}{\overline{OA}}=\dfrac{10}{20}$ 算成 $\dfrac12$；但 $\angle CAB$ 是擋板三角形 $ABC$ 本身的內角，$O$ 不在這個三角形的平面上，三邊都要先用畢氏定理從空間關係算出來。另一個常見錯是三個距離對錯點：由圖 $C$ 在鉛直交界線上、距離是 $10$，$A$、$B$ 都是 $20$。
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54. 三角函數化簡求最大值115分科測驗數學甲 第3題
    最常見的錯誤是「分開求最大值再相加」：$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 最大 $1$、$\sin x-\sqrt3\cos x$ 最大 $2$，就以為答案是 $3$；但兩者達到最大的 $x$ 不同，這樣算出來的值根本不在選項裡。正確流程是先用和角公式展開、合併成 $A\sin x+B\cos x$，最大值就是 $\sqrt{A^2+B^2}$；展開時別把 $\cos\dfrac{\pi}{3}$ 與 $\sin\dfrac{\pi}{3}$ 的值對調。
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55. 圓周弧度與矩形頂點115會考數學 第19題
    關鍵是「圓內接長方形的對角線必是直徑」，所以從 A、B 各走 180° 就能定位 E、F。四段弧都接近 90°，圖上看 E、F 好像落在 C、D 附近的任一邊，必須實際把弧度加起來：87+91=178 差 2° 才到 E，91+88=179 差 1° 才到 F，兩個都剛好越過 C 與 D，答案不是直覺的 (A)。
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56. 函數圖形・交點判讀115學測數學A 第11題
    判 (1) 和 (5) 都栽在同一件事：$L_m$ 恆過 $(0,1)$，而這個點就在 $\Gamma$ 上。只顧解不等式找 $x<0$ 的交點、忘了清點 $x=0$，就會把 (1) 當成對；數 (5) 的交點時漏掉 $(0,1)$，只數到 $2$ 個（偶數），也會誤選 (5)。動筆前先把 $(0,1)$ 這個保底交點寫下來。
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57. 三角比・向量比115學測數學A 第17題
    兩個易錯點：其一，$\angle BDC$ 是 $\triangle ACD$ 的外角，等於 $90^\circ+\theta$，寫成 $90^\circ-\theta$ 整題斜掉（幸好 $\sin(90^\circ+\theta)=\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$，這題僥倖救回，觀念仍要弄對）；其二，三倍角公式「係數 $3$ 放前面的是 $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$」，與 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ 背反的話，$\sin3\theta$ 會算成 $-\dfrac{11}{16}$ 之類的錯值，$k$ 跟著全錯。
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58. 正弦函數・週期等價115學測數學B 第8題
    最容易誤判的是 (2)：大家記得「角度加 $2\pi$ 值不變」，就以為 $\dfrac{\pi}{5}+2\pi$ 也沒差，但這裡的 $2\pi$ 是加在 $x$ 的係數上，週期從 $10$ 變成 $\dfrac{10}{11}$，函數整個變了；只有加在「角度」上的 $2\pi$ 整數倍才不影響函數值。(4) 也常被誤選，正弦部分雖相同，常數項 $-3$ 與 $+3$ 差了上下平移。先把原式化成 $-3\sin\left(\dfrac{\pi}{5}x\right)+3$，再逐項代值檢查最保險。
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59. 斜角直線・交點距離115學測數學B 第13題
    最容易錯的是 $O$ 處的內角：斜角 $75^\circ$ 是 $L_1$ 與 $x$ 軸「正向」的夾角，但三角形在 $O$ 的內角是朝向 $Q$（$x$ 軸負向）那一邊，應該是 $180^\circ-75^\circ=105^\circ$；若直接拿 $75^\circ$ 當內角，頂角會算成 $75^\circ$，距離就錯了。另一個常見錯誤是用聯立方程式硬解，$\tan75^\circ=2+\sqrt{3}$ 算起來繁瑣又容易出錯；看到「兩個已知角、一個已知邊」就該想到正弦定理，兩行就能算完。
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歷屆考題與答案