111學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先求扇形的圓心角

   $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 是切線，切點是 $B$、$C$，所以 $\angle ABO=\angle ACO=90^\circ$。四邊形 $ABOC$ 的內角和是 $360^\circ$，因此 $\angle BOC=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle A=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ$。這 $120^\circ$ 就是斜線扇形 $BOC$ 的圓心角。
2. 2

   再求半徑

   連 $\overline{AO}$。由切線長相等與兩個直角，$\triangle ABO\cong\triangle ACO$，所以 $\overline{AO}$ 平分 $\angle A$，得 $\angle BAO=30^\circ$。在直角 $\triangle ABO$ 中，$\angle ABO=90^\circ$、$\angle BAO=30^\circ$、$\angle AOB=60^\circ$，三邊比為 $1:\sqrt{3}:2$，其中 $\overline{OB}$ 對著 $30^\circ$、$\overline{AB}$ 對著 $60^\circ$。所以 $\overline{OB}:\overline{AB}=1:\sqrt{3}$，得 $\overline{OB}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6$，半徑是 $6$。
3. 3

   算弧長

   扇形 $BOC$ 的弧就是圓心角 $120^\circ$ 所對的那一段，佔整個圓周的 $\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}$。整個圓周長是 $2\pi\times 6=12\pi$，所以 $\widehat{BC}$ 的長度為 $12\pi\times\dfrac{1}{3}=4\pi$。
4. 4

   把周長湊齊

   扇形的周長是「一段弧加上兩條半徑」，不是只有弧。所以扇形 $BOC$ 的周長 $=\widehat{BC}+\overline{OB}+\overline{OC}=4\pi+6+6=4\pi+12$。故選 (A)。
5. 5

   看清兩個誘答怎麼來

   若忘了乘 $\dfrac{120}{360}$，把整個圓周 $12\pi$ 當成弧長，就會得到 $12\pi+12$；若弧長算對卻只補了一條半徑，就會得到 $4\pi+6$。這兩個值都出現在選項裡，所以寫完要回頭確認兩件事：弧只取了三分之一嗎、半徑加了兩條嗎。

關鍵觀念：#切線長 #扇形周長 #特殊角三角比

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