111學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先標出真正的直角

   切線的基本性質是：切線垂直於「過切點的半徑」。所以圖上真正的直角是 $\overline{OA}\perp\overline{PA}$ 與 $\overline{OB}\perp\overline{PB}$，直角的頂點在切點 $A$、$B$ 上，而不是在圓心 $O$。把這兩個直角記號補到圖上，四個選項就一目了然。
2. 2

   檢查敘述 A

   (A) 說 $\overline{AO}\perp\overline{PO}$ 而且 $\overline{BO}\perp\overline{PO}$。若兩者同時成立，$\overline{OA}$ 和 $\overline{OB}$ 就都垂直於同一條直線 $OP$，$A$、$O$、$B$ 會落在同一條直線上，$\overline{AB}$ 變成直徑，這只有在 $\angle AOP=\angle BOP=90^\circ$ 的特殊情形才發生；而從 $P$ 能作出兩條切線就表示 $\overline{OP}>r$，此時 $\angle AOP$ 必定是銳角。圖上的 $\angle AOP$ 也明顯不是直角。所以 (A) 是錯的敘述。
3. 3

   檢查敘述 B

   (B) 說 $\triangle AOP\cong\triangle BOP$。比對三角形：$\overline{OA}=\overline{OB}=r$（同圓半徑），$\overline{OP}=\overline{OP}$（共用邊），而且 $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$。由直角邊與斜邊對應相等，兩個直角三角形全等，所以 (B) 正確。順帶得到 $\overline{PA}=\overline{PB}$，這就是切線長相等的由來。
4. 4

   檢查敘述 C

   (C) 給 $\angle AOP=50^\circ$。在直角 $\triangle AOP$ 中 $\angle OAP=90^\circ$，所以 $\angle APO=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ$。由 (B) 的全等可知 $\angle BPO=\angle APO=40^\circ$，因此 $\angle APB=40^\circ+40^\circ=80^\circ$。和敘述相符，(C) 正確。
5. 5

   檢查敘述 D 並作結

   (D) 給 $\overline{PA}=12$、$\overline{BO}=5$。因為 $\overline{AO}=\overline{BO}=5$，而 $\triangle AOP$ 以 $A$ 為直角頂點，$\overline{OP}$ 是斜邊，由畢氏定理 $\overline{PO}^2=12^2+5^2=144+25=169$，所以 $\overline{PO}=13$。(D) 正確。四個選項中只有第一個敘述不成立，故選 (A)。

關鍵觀念：#切線長 #全等三角形 #畢氏定理

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