111學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

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   先補出第三邊

   $\angle B=90^\circ$，所以 $\overline{AC}$ 是斜邊，$\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 是兩股。由畢氏定理 $\overline{AB}^2+\overline{BC}^2=\overline{AC}^2$，代入得 $\overline{AB}^2+8^2=17^2$，即 $\overline{AB}^2=289-64=225$，所以 $\overline{AB}=15$。三邊湊成 $8$、$15$、$17$ 這組常見的畢氏數。
2. 2

   逐一寫出四個比值

   以 $\angle A$ 來看，對邊是 $\overline{BC}=8$、鄰邊是 $\overline{AB}=15$、斜邊是 $\overline{AC}=17$；以 $\angle C$ 來看，對邊是 $\overline{AB}=15$、鄰邊是 $\overline{BC}=8$。所以 $\tan C=\dfrac{15}{8}$、$\sin A=\dfrac{8}{17}$、$\cos A=\dfrac{15}{17}$、$\tan A=\dfrac{8}{15}$。
3. 3

   換成小數比大小

   把四個值化成小數：$\tan C=\dfrac{15}{8}=1.875$，$\sin A=\dfrac{8}{17}\approx 0.47$，$\cos A=\dfrac{15}{17}\approx 0.88$，$\tan A=\dfrac{8}{15}\approx 0.53$。四個之中只有 $\tan C$ 超過 $1$，其餘三個都不到 $1$，最大的是 $\tan C$。故選 (A)。
4. 4

   不算也能一眼看出

   更快的判斷是用範圍：銳角的 $\sin$ 和 $\cos$ 都是「一股除以斜邊」，斜邊最長，所以必定小於 $1$，(B)、(C) 直接出局。剩下兩個正切互為倒數，$\tan A\times\tan C=\dfrac{8}{15}\times\dfrac{15}{8}=1$，一個小於 $1$、另一個就大於 $1$。因為 $\overline{BC}=8$ 比 $\overline{AB}=15$ 短，$\angle A$ 是較小的角，所以 $\tan A<1<\tan C$。
5. 5

   看穿最容易誤選的選項

   最常被誤選的是 $\tan A$。原因是把 $\angle A$ 的對邊和鄰邊記反，誤寫成 $\tan A=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\dfrac{15}{8}=1.875$，於是把這個最大值掛到 (D) 頭上。判斷對邊鄰邊時，先把角的頂點圈起來，不碰到這個頂點的那一邊才是對邊。

關鍵觀念：#三角比 #直角三角形

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