111學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先讀懂圖的結構

   圖上 $A$、$B$、$C$、$D$ 依序排在圓上，連成圓內接四邊形 $ABCD$，兩條對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 交於 $E$。$\overline{AC}$ 是直徑，所以它通過圓心 $O$，但 $E$ 是兩條對角線的交點，圖上 $E$ 和 $O$ 並不重合，這點要先看清楚，不要把兩個點當成同一個。
2. 2

   證明選項 C 一定成立

   $ABCD$ 是圓內接四邊形，對角互補，所以 $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$，即 $\angle ABC=180^\circ-\angle ADC$。另一方面，在 $\triangle ACD$ 中，內角和為 $180^\circ$，所以 $\angle ADC=180^\circ-\angle CAD-\angle ACD$。把第二式代進第一式可得 $\angle ABC=\angle CAD+\angle ACD$。整個推導只用到對角互補與三角形內角和，和 $\overline{AC}$ 是不是直徑無關，所以 (C) 必定成立。
3. 3

   用一組數字檢驗其他選項

   舉一組符合條件的弧度數來檢查。因為 $\overline{AC}$ 是直徑，$\widehat{AB}+\widehat{BC}=180^\circ$。取 $\widehat{AB}=100^\circ$、$\widehat{BC}=80^\circ$、$\widehat{CD}=70^\circ$、$\widehat{DA}=110^\circ$，四段相加正好 $360^\circ$，條件全部滿足。
4. 4

   逐一淘汰 A、B、D

   (A) 說 $\widehat{AD}=\widehat{BC}$，但這組數字是 $110^\circ$ 對 $80^\circ$，不相等，(A) 錯。(B) 說 $\angle ABC=\angle BCD$，其中 $\angle ABC=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}=\dfrac{110+70}{2}=90^\circ$，$\angle BCD=\dfrac{\widehat{BAD}}{2}=\dfrac{100+110}{2}=105^\circ$，不相等，(B) 錯。(D) 說 $\angle BEC=2\angle BAC$；$\angle BEC$ 是 $\triangle ABE$ 在 $E$ 的外角，等於 $\angle BAC+\angle ABD=\dfrac{80}{2}+\dfrac{110}{2}=40^\circ+55^\circ=95^\circ$，而 $2\angle BAC=80^\circ$，不相等，(D) 錯。
5. 5

   回頭驗證選項 C

   再用同一組數字檢查 (C)：$\angle CAD=\dfrac{\widehat{CD}}{2}=\dfrac{70}{2}=35^\circ$，$\angle ACD=\dfrac{\widehat{AD}}{2}=\dfrac{110}{2}=55^\circ$，兩者相加是 $90^\circ$；而 $\angle ABC=90^\circ$，完全吻合。故選 (C)。

關鍵觀念：#圓內接四邊形 #圓周角 #外角定理