111學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   高把圖切成兩個直角三角形

   $\overline{AD}\perp\overline{BC}$，所以 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ADC$ 都是直角三角形，而 $\overline{AD}$ 是它們共用的一條邊。已知量 $\overline{AC}=6$ 在右邊那個三角形裡，$\angle B=45^\circ$ 在左邊那個三角形裡，所以路線很清楚：先用右邊求出 $\overline{AD}$，再帶到左邊求 $\overline{AB}$。
2. 2

   在右半邊求高

   在直角 $\triangle ADC$ 中，$\angle ADC=90^\circ$、$\angle C=60^\circ$，所以 $\angle DAC=30^\circ$，三邊比是 $1:\sqrt{3}:2$。$\overline{AC}=6$ 是斜邊，對著 $60^\circ$ 的 $\overline{AD}$ 佔 $\sqrt{3}$ 的位置，所以 $\overline{AD}=6\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
3. 3

   在左半邊求斜邊

   在直角 $\triangle ABD$ 中，$\angle ADB=90^\circ$、$\angle B=45^\circ$，所以 $\angle BAD=45^\circ$，這是等腰直角三角形，三邊比是 $1:1:\sqrt{2}$。兩股 $\overline{BD}=\overline{AD}=3\sqrt{3}$，斜邊 $\overline{AB}=\sqrt{2}\times 3\sqrt{3}=3\sqrt{6}$。
4. 4

   檢查合理性後作答

   檢驗一下：$\overline{AD}=3\sqrt{3}\approx 5.20$，比斜邊 $\overline{AC}=6$ 短，合理；$\overline{AB}=3\sqrt{6}\approx 7.35$，比 $\overline{AC}=6$ 長也合理，因為 $\angle C=60^\circ$ 大於 $\angle B=45^\circ$，大角對大邊。故選 (B)。
5. 5

   看清兩個誘答

   第一個要避開的是 $\overline{AD}=3\sqrt{6}\approx 7.35$ 這個寫法：$\overline{AD}$ 是直角三角形的一股，一定比斜邊 $\overline{AC}=6$ 短，$7.35$ 已經超過，不必計算就能排除。第二個是把 $60^\circ$ 的正弦和餘弦記反，算成 $\overline{AD}=6\times\cos 60^\circ=6\times\dfrac{1}{2}=3$，再用 $45^\circ$ 得到 $\overline{AB}=3\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，整組數字就滑到另一個選項去了。

關鍵觀念：#三角比 #特殊角 #高

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