111學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先想清楚切點在哪

   從圓外一點 $P$ 可以作兩條切線，兩個切點 $A$、$B$ 對於直線 $OP$ 左右對稱。所以正確的作法只有一個標準：作出來的 $B$ 必須是 $A$ 對於 $\overline{OP}$ 的鏡射點，等價的說法是 $\overline{PB}=\overline{PA}$，或是 $\angle BOP=\angle AOP$。拿這個標準去檢查四個作法，對錯立刻分明。
2. 2

   檢查作法 A 與 D

   (A) 直接以 $\overline{OP}$ 為對稱軸作 $A$ 的對稱點，這就是標準本身，成立。(D) 以 $\overline{OP}$ 為公用邊作 $\angle AOP=\angle POC$，得到的 $B$ 滿足 $\overline{OB}=\overline{OA}$、$\angle BOP=\angle AOP$、$\overline{OP}$ 共用，所以 $\triangle BOP\cong\triangle AOP$，於是 $\angle OBP=\angle OAP=90^\circ$，$\overline{BP}$ 確實是切線，成立。
3. 3

   檢查作法 B

   (B) 以 $P$ 為圓心、$\overline{AP}$ 為半徑畫圓。因為切線長相等，真正的切點 $B$ 滿足 $\overline{PB}=\overline{PA}$，所以 $B$ 一定落在這個新圓上，同時它也在圓 $O$ 上，於是兩圓的交點就是所求（另一個交點是 $A$ 自己）。作法成立。
4. 4

   找出不成立的作法

   (C) 過圓心 $O$ 作 $L\perp\overline{OA}$，$L$ 交圓 $O$ 於 $B$。這樣得到的 $B$ 只保證 $\angle AOB=90^\circ$，但切點該滿足的是 $\angle AOB=2\angle AOP$。兩者只有在 $\angle AOP=45^\circ$ 這個特例才碰巧一致，一般情形完全不同。再者，$L$ 和圓 $O$ 有兩個交點，位於 $\overline{OA}$ 的兩側，這個作法連要取哪一個都說不清楚。故選 (C)。
5. 5

   補一句判斷訣竅

   作圖題的檢驗訣竅是問：「這個作法有沒有用到 $P$ 的位置？」切點會隨著 $P$ 離圓的遠近而移動：$P$ 越靠近圓，兩個切點越靠攏；$P$ 拉得越遠，兩個切點張得越開，$\angle AOB$ 越接近平角。(A)、(B)、(D) 的步驟裡都出現了 $P$ 或 $\overline{AP}$，(C) 從頭到尾只用了 $O$ 和 $A$，做出來的 $B$ 不管 $P$ 在哪裡都釘在同一個位置，這就是它站不住的根本原因。

關鍵觀念：#切線作圖 #尺規作圖

同主題一起複習：直線與圓錐曲線 →