111學年鷺江國中第2次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   兩段弧合起來是一圈

   $P$、$Q$ 兩點把圓分成兩段弧，較長的叫優弧、較短的叫劣弧。不論怎麼分，兩段弧的度數加起來一定是整個圓周的 $360^\circ$。這是列式的第一條關係。
2. 2

   把倍數關係列成式子

   設劣弧的度數為 $x^\circ$。「優弧的度數比劣弧度數的 $3$ 倍多 $60^\circ$」翻譯成式子就是優弧 $=3x+60$。注意 $3$ 倍的對象是劣弧，而多出來的 $60^\circ$ 是加在乘完之後，順序不能顛倒。
3. 3

   解方程式

   把兩條關係合起來：$x+(3x+60)=360$，整理得 $4x+60=360$，所以 $4x=300$，$x=75$。回頭檢查：劣弧 $75^\circ$，優弧 $3\times 75+60=285^\circ$，兩者相加 $75+285=360^\circ$，而且 $285^\circ>75^\circ$，確實是優弧比較長，條件全部符合。
4. 4

   換回題目問的角

   $\angle POQ$ 是以圓心 $O$ 為頂點、兩邊分別通過 $P$ 和 $Q$ 的角，它的度數等於所對弧的度數。圓心角的度數不會超過 $180^\circ$，所以它對應的是劣弧那一段，也就是 $\angle POQ=75^\circ$。故選 (B)。
5. 5

   常見的兩種失手

   第一種是忘了那 $60^\circ$，直接列成 $x+3x=360$，解得 $x=90$，這個值不在選項裡；第二種是算對了 $x=75$，卻把 $285^\circ$ 當成 $\angle POQ$ 交出去，那同樣不在選項裡。兩種錯誤都會在對答案時卡住，反而提醒你回頭檢查。

關鍵觀念：#優弧 #劣弧 #圓心角

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