111學年鷺江國中第2次段考數學 第17題 詳解

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逐步解析

1. 1

   從原點的直角下手

   圖上圓通過原點 $O$，並和 $y$ 軸交於 $C(0,8)$、和 $x$ 軸交於 $B(12,0)$。因為兩條坐標軸互相垂直，$\angle BOC=90^\circ$。而 $O$、$B$、$C$ 都在圓上，所以 $\angle BOC$ 是一個圓周角，它對著弦 $\overline{BC}$。
2. 2

   直角逼出直徑

   圓周角是直角時，它所對的弦一定是直徑。所以 $\overline{BC}$ 就是圓 $A$ 的直徑，圓心 $A$ 正是 $\overline{BC}$ 的中點。這一步把「三個交點」轉成「一條直徑」，是整題的關鍵轉折。
3. 3

   算出直徑長度

   $\triangle BOC$ 以 $O$ 為直角頂點，兩股是 $\overline{OC}=8$ 與 $\overline{OB}=12$。由畢氏定理 $\overline{BC}^2=8^2+12^2=64+144=208$。不必急著開根號，因為接下來要用的是半徑的平方。
4. 4

   求面積

   半徑 $r=\dfrac{\overline{BC}}{2}$，所以 $r^2=\dfrac{\overline{BC}^2}{4}=\dfrac{208}{4}=52$。圓面積 $=\pi r^2=52\pi$。故選 (D)。也可以驗算一次：$r=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，$A$ 是 $\overline{BC}$ 的中點 $(6,4)$，而 $\overline{AO}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$，圓心到原點的距離確實等於半徑。
5. 5

   兩個誘答的來源

   若只看 $B(12,0)$，把 $\overline{OB}=12$ 誤當成直徑，會得到 $r=6$、面積 $36\pi$；若只看 $C(0,8)$，把 $\overline{OC}=8$ 誤當成直徑，會得到 $r=4$、面積 $16\pi$。這兩個值都出現在選項裡。$\overline{OB}$ 和 $\overline{OC}$ 都只是弦，通過圓心的那一條是 $\overline{BC}$，動筆前先確認自己抓的是不是直徑。

關鍵觀念：#坐標平面 #圓的面積 #畢氏定理

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