111學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   從切線的兩個直角開始

   $\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 分別切圓 $O$ 於 $A$、$B$，所以 $\overline{OA}\perp\overline{PA}$、$\overline{OB}\perp\overline{PB}$，即 $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$。把 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$ 連起來，$OAPB$ 就是一個四邊形，四個內角我們已經知道三個。
2. 2

   求出圓心角

   四邊形 $OAPB$ 的內角和是 $360^\circ$，所以 $\angle AOB=360^\circ-\angle OAP-\angle OBP-\angle P=360^\circ-90^\circ-90^\circ-70^\circ=110^\circ$。也就是說，靠近 $P$ 這一側的劣弧 $\widehat{AB}$ 度數是 $110^\circ$。
3. 3

   確認 C 站在哪一段弧上

   圓周角所對的弧，是「不含這個頂點」的那一段。圖上 $C$ 就落在靠近 $P$ 的那段劣弧上，位在 $A$ 與 $B$ 之間，所以 $\angle ACB$ 對著的是另一邊的優弧 $\widehat{AB}$。這一步讀錯，答案就會差一倍。
4. 4

   算出圓周角

   整個圓是 $360^\circ$，劣弧 $\widehat{AB}=110^\circ$，所以優弧 $\widehat{AB}=360^\circ-110^\circ=250^\circ$。圓周角等於所對弧度數的一半，因此 $\angle ACB=\dfrac{250^\circ}{2}=125^\circ$。故選 (D)。
5. 5

   兩個常見的停錯站

   第一個是算出 $\angle AOB=110^\circ$ 就交卷，把中間量當成答案，這個值剛好在選項裡，特別危險。第二個是把 $C$ 看成落在遠離 $P$ 的那段優弧上，那樣會算成 $\dfrac{110^\circ}{2}=55^\circ$，不在選項裡，一對答案就知道弧讀反了。另外可以用一個快速檢查：$C$ 落在劣弧上時，它所對的優弧超過 $180^\circ$，取一半必定大於 $90^\circ$，所以答案一定是鈍角，$55^\circ$ 直接出局。

關鍵觀念：#切線長 #圓外角 #圓周角

同主題一起複習：直線與圓錐曲線 →