111學年鷺江國中第2次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   弄清楚這段弧屬於誰

   這段弧是以 $B$ 為圓心、$\overline{BC}$ 為半徑畫的，所以它屬於一個以 $B$ 為圓心的圓。$\widehat{DE}=42^\circ$ 說的是這段弧的度數，對應的圓心角就是頂點在 $B$ 的 $\angle DBE$，因此 $\angle DBE=42^\circ$。又因為 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上、$E$ 在 $\overline{AC}$ 上，這個角其實就是 $\angle ABE=42^\circ$。
2. 2

   設頂角並寫出底角

   設 $\angle A=x^\circ$。因為 $\overline{AB}=\overline{AC}$，$\triangle ABC$ 是等腰三角形，兩個底角相等，所以 $\angle ABC=\angle ACB=\dfrac{180^\circ-x^\circ}{2}=90^\circ-\dfrac{x}{2}$。
3. 3

   找出第二個等腰三角形

   關鍵在於 $\overline{BE}$ 和 $\overline{BC}$ 都是這段弧的半徑，所以 $\overline{BE}=\overline{BC}$，$\triangle BEC$ 也是等腰三角形，$\angle BEC=\angle BCE$。而 $E$ 在 $\overline{AC}$ 上，所以 $\angle BCE$ 就是 $\angle ACB=90^\circ-\dfrac{x}{2}$。由 $\triangle BEC$ 的內角和得 $\angle EBC=180^\circ-2\left(90^\circ-\dfrac{x}{2}\right)=x^\circ$。
4. 4

   把角度接起來解方程

   射線 $\overline{BE}$ 把 $\angle ABC$ 分成 $\angle ABE$ 與 $\angle EBC$ 兩部分，所以 $\angle ABE+\angle EBC=\angle ABC$，代入得 $42+x=90-\dfrac{x}{2}$。移項整理：$x+\dfrac{x}{2}=90-42=48$，即 $\dfrac{3x}{2}=48$，解得 $x=32$。故選 (D)。
5. 5

   代回去檢查

   取 $\angle A=32^\circ$，則底角 $\angle ABC=\angle ACB=\dfrac{180-32}{2}=74^\circ$。$\angle ABE=42^\circ$，所以 $\angle EBC=74^\circ-42^\circ=32^\circ$；在 $\triangle BEC$ 中 $\angle BEC=\angle BCE=\dfrac{180-32}{2}=74^\circ$，正好等於 $\angle ACB$，所有條件都對得上。要小心的誘答是直接把 $42^\circ$ 當成 $\angle A$：那是以 $B$ 為頂點的角，不是三角形的頂角。

關鍵觀念：#等腰三角形 #圓弧 #相似三角形