111學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先補出第三個角

   三角形內角和是 $180^\circ$，所以 $\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-15^\circ-45^\circ=120^\circ$。$\angle B$ 是鈍角，這解釋了為什麼圖上的 $\triangle ABC$ 又扁又尖。$15^\circ$ 不是特殊角，所以不能直接拿 $\angle A$ 來算，要想辦法把圖拆成 $45^\circ$ 和 $60^\circ$ 這兩個會算的角。
2. 2

   作高，垂足落在外面

   從 $A$ 向底邊所在的直線作垂線，垂足記為 $H$。因為 $\angle ABC=120^\circ$ 是鈍角，$H$ 不會落在 $\overline{BC}$ 中間，而是落在 $\overline{CB}$ 的延長線上、$B$ 的外側。此時 $\angle ABH=180^\circ-120^\circ=60^\circ$，正好是特殊角。
3. 3

   在左邊的直角三角形求兩段

   在直角 $\triangle ABH$ 中，$\angle AHB=90^\circ$、$\angle ABH=60^\circ$、$\angle BAH=30^\circ$，三邊比為 $1:\sqrt{3}:2$，斜邊 $\overline{AB}=8$。對著 $60^\circ$ 的 $\overline{AH}=8\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，對著 $30^\circ$ 的 $\overline{BH}=8\times\dfrac{1}{2}=4$。
4. 4

   用 45 度求出整段底

   在直角 $\triangle AHC$ 中，$\angle AHC=90^\circ$、$\angle C=45^\circ$，這是等腰直角三角形，所以 $\overline{HC}=\overline{AH}=4\sqrt{3}$。因為 $H$ 在 $B$ 的外側，真正的底邊 $\overline{BC}=\overline{HC}-\overline{HB}=4\sqrt{3}-4$。
5. 5

   算面積並檢查

   面積 $=\dfrac{1}{2}\times\overline{BC}\times\overline{AH}=\dfrac{1}{2}\times(4\sqrt{3}-4)\times 4\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}(48-16\sqrt{3})=24-8\sqrt{3}$。取 $\sqrt{3}\approx 1.732$ 估一下，約是 $24-13.86=10.14$，是個正數，合理。故選 (B)。
6. 6

   兩種容易踩空的算法

   第一個要避開的是 $24-16\sqrt{3}$：把 $\sqrt{3}\approx 1.732$ 代進去約是 $-3.7$，面積不可能是負的，不必推導就能排除。第二個是把垂足看成落在 $B$ 與 $C$ 之間，於是把底邊算成 $\overline{BC}=4\sqrt{3}+4$，面積變成 $\dfrac{1}{2}(4\sqrt{3}+4)\times 4\sqrt{3}=24+8\sqrt{3}$，這個值不在選項裡，一對答案就會發現垂足位置判斷錯了。

關鍵觀念：#三角比 #特殊角 #三角形面積

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