111學年鷺江國中第2次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把相切翻成距離

   弦和小圓相切，代表圓心到這條弦的距離剛好等於小圓半徑。設大圓半徑為 $R$，兩圓半徑差 $8$，所以小圓半徑是 $R-8$，圓心到弦的距離也就是 $R-8$。這是把「相切」這個幾何條件換成數字的第一步。
2. 2

   連出直角三角形

   從圓心作弦的垂線，垂足就是切點。垂直於弦的半徑會平分這條弦，所以切點是弦的中點，半條弦長 $40\div 2=20$。再把圓心連到弦的一個端點，那條線段是大圓半徑 $R$。這樣就得到一個直角三角形：兩股是 $20$ 和 $R-8$，斜邊是 $R$。
3. 3

   列式求解

   由畢氏定理 $R^2=20^2+(R-8)^2$，展開右邊得 $R^2=400+R^2-16R+64$。兩邊的 $R^2$ 互相抵消，剩下 $0=464-16R$，所以 $16R=464$，$R=29$。
4. 4

   代回去驗算

   $R=29$ 時小圓半徑是 $29-8=21$。檢查 $20^2+21^2=400+441=841$，而 $29^2=841$，完全吻合，$20$、$21$、$29$ 正好是一組畢氏數。故選 (D)。
5. 5

   弦一定要先折半

   最容易失分的是忘記把弦折半，直接把 $40$ 當成直角三角形的一股：那樣會列成 $R^2=40^2+(R-8)^2$，化簡後 $16R=1664$，得到 $R=104$，這個值遠遠大於所有選項，一對答案就會發現漏了折半這一步。

關鍵觀念：#同心圓 #弦 #畢氏定理

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