111學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

答案(1) $8$ (2) $28.8$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   從內切圓讀出兩個條件

   圓 $O$ 和梯形四邊都相切，馬上得到兩件事。第一，$\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ 平行且都和圓相切，圓心到兩者的距離都是半徑 $6$，所以梯形的高 $=6+6=12$。第二，由切線長相等可推得外切四邊形的性質：一組對邊和等於另一組對邊和——設四個切點把四邊分成 $\overline{AP}=\overline{AS}$、$\overline{BP}=\overline{BQ}$、$\overline{CQ}=\overline{CR}$、$\overline{DR}=\overline{DS}$，把八段重新分組相加，就得到 $\overline{AD}+\overline{BC}=\overline{AB}+\overline{CD}$，即 $\overline{AD}+\overline{BC}=\overline{AB}+\overline{CD}$。
2. 2

   算出兩底的和

   等腰梯形的兩腰等長，所以 $\overline{CD}=\overline{AB}=13$。代入上一步的關係：$\overline{AD}+\overline{BC}=13+13=26$。
3. 3

   算出兩底的差

   從 $A$、$D$ 各向 $\overline{BC}$ 作垂線，垂足記為 $E$、$F$。$AEFD$ 是長方形，所以 $\overline{EF}=\overline{AD}$，而左右兩側的 $\overline{BE}$ 與 $\overline{FC}$ 因為等腰而相等，各是 $\dfrac{\overline{BC}-\overline{AD}}{2}$。在直角 $\triangle ABE$ 中，$\overline{AE}=12$、$\overline{AB}=13$，由畢氏定理 $\overline{BE}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。所以 $\overline{BC}-\overline{AD}=2\times 5=10$。
4. 4

   解出第一小題

   把兩式合起來：$\overline{AD}+\overline{BC}=26$、$\overline{BC}-\overline{AD}=10$。兩式相加得 $2\overline{BC}=36$，$\overline{BC}=18$；再代回得 $\overline{AD}=26-18=8$。所以第一小題的答案是 $\overline{AD}=8$ 公分。驗算：$\dfrac{18-8}{2}=5$，和上一步算出的 $\overline{BE}=5$ 一致。
5. 5

   用相似形處理第二小題

   $P$ 是 $\overline{BA}$ 與 $\overline{CD}$ 的延長線交點，因為 $\overline{AD}$ // $\overline{BC}$，可得 $\angle PAD=\angle PBC$、$\angle PDA=\angle PCB$，所以 $\triangle PAD\sim\triangle PBC$，相似比為 $\overline{AD}:\overline{BC}=8:18=4:9$。設 $\overline{PA}=t$，則 $\overline{PB}=t+13$，由 $\dfrac{t}{t+13}=\dfrac{4}{9}$ 得 $9t=4t+52$，$5t=52$，$t=10.4$。由對稱性 $\overline{PD}=\overline{PA}=10.4$。
6. 6

   求周長並驗算

   $\triangle PAD$ 的周長 $=\overline{PA}+\overline{PD}+\overline{AD}=10.4+10.4+8=28.8$ 公分。換個方式驗算：$\triangle PBC$ 的周長 $=(10.4+13)\times 2+18=23.4\times 2+18=64.8$，而相似三角形的周長比等於相似比，$64.8\times\dfrac{4}{9}=28.8$，兩種算法一致。所以第二小題的答案是 $28.8$ 公分。

關鍵觀念：#切線長 #等腰梯形 #內切圓

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