108學年鷺江國中第2次段考數學 第6題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先認清圖上四個角

   $\angle1$ 標在 $A$ 的內側，就是 $\angle DAB$；$\angle2$ 標在 $B$ 的內側，就是 $\angle ABD$；$\angle3$ 與 $\angle4$ 都在 $D$，其中 $\angle3$ 夾在 $\overline{DA}$ 與 $\overline{DB}$ 之間（即 $\angle ADB$），$\angle4$ 夾在 $\overline{DB}$ 與切線 $\overline{DC}$ 之間（即 $\angle BDC$）。
2. 2

   用弦切角處理 ∠4

   $\overline{CD}$ 切圓 $O$ 於 $D$，所以 $\angle4$ 是切線 $\overline{DC}$ 與弦 $\overline{DB}$ 的夾角，屬於弦切角。它所夾的弧是不含 $A$ 的那段 $\overparen{BD}$。同一段弧所對的圓周角是 $\angle DAB$，也就是 $\angle1$，所以 $\angle4=\angle1$。
3. 3

   用平行線處理 ∠3

   已知 $\overline{AD}/\!/\overline{BC}$，把 $\overline{BD}$ 當成截線，$\angle ADB$ 與 $\angle DBC$ 分居截線兩側，是一組內錯角，所以 $\angle DBC=\angle ADB=\angle3$。
4. 4

   算出外側的 ∠C

   $\triangle BDC$ 的三個內角是 $\angle DBC$、$\angle BDC$、$\angle C$，三者相加為 $180°$。代入前兩步的結果：$\angle C=180°-\angle BDC-\angle DBC=180°-\angle4-\angle3=180°-\angle1-\angle3$。
5. 5

   回到三角形 ABD 比對

   $\triangle ABD$ 的三個內角正好是 $\angle1$、$\angle2$、$\angle3$，所以 $\angle1+\angle2+\angle3=180°$，移項得 $\angle2=180°-\angle1-\angle3$。這個式子和上一步的 $\angle C$ 一模一樣，因此 $\angle C=\angle2$。故選 (B)。

關鍵觀念：#切線 #弦切角 #圓周角

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